Optimització i estudi complet de funcions

Sigui $f(x) = x^{2} - 4x + 3$.

1. a) Calcula $f'(x)$ i troba el punt on s'anul·la.

1. b) Aquest punt és un màxim o un mínim? Justifica-ho estudiant el signe de $f'$ a tots dos costats.

La derivada d'una funció és $f'(x) = 2x - 6$.

1. a) En quin punt s'anul·la $f'$?

1. b) On és $f$ creixent i on decreixent?

1. c) Quin tipus d'extrem té $f$ i en quin punt?

Es volen tancar $100$ m per a fer un hort rectangular recolzat en una paret, de manera que només s'han de tancar tres costats, com mostra la figura.

1. a) Si $x$ és la longitud de cada costat perpendicular a la paret i $y$ la del costat paral·lel, expressa $y$ en funció de $x$ i escriu la funció àrea $A(x)$.

1. b) Calcula les dimensions que fan màxima l'àrea.

1. c) Quina és aquesta àrea màxima?

Una finestra té forma de rectangle coronat per un semicercle (finestra d'arc). El perímetre total del marc és de $12$ m i es vol que entri la màxima llum possible, és a dir, que l'àrea sigui màxima.

1. a) Si $r$ és el radi del semicercle i $h$ l'altura del rectangle, escriu la relació entre $r$ i $h$ que imposa el perímetre.

1. b) Expressa l'àrea total $A(r)$ en funció només de $r$.

1. c) Troba el valor de $r$ que maximitza l'àrea, deixant el resultat en funció de $\pi$, i calcula les dimensions completes de la finestra.

Un cinema amb $400$ localitats ven les entrades a $8\ \text{ €}$ i omple totes les sessions. El gerent estima que per cada $0,50\ \text{ €}$ que apugi el preu perdrà $20$ espectadors.

1. a) Si $x$ és el nombre d'augments de $0,50\ \text{ €}$, escriu la funció ingrés $I(x)$.

1. b) Quin preu d'entrada maximitza l'ingrés? Quant val aquest ingrés màxim?

1. c) A partir de quin preu l'ingrés seria menor que l'actual de sala plena?

1. d) El gerent decideix no apujar més de $2\ \text{ €}$ per a no buidar la sala. Li convé apujar aquests $2\ \text{ €}$? Justifica-ho amb el model.

El cost total de produir $q$ unitats d'un producte és $C(q) = q^{2} + 30q + 25$, en euros.

1. a) Escriu la funció de cost mitjà per unitat, $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$, per a $q > 0$.

1. b) Calcula el valor de $q$ que minimitza el cost mitjà i comprova, estudiant el signe de $CM'(q)$, que és un mínim.

1. c) Calcula el cost marginal $C'(q)$ en aquest mateix valor i comprova que coincideix amb el cost mitjà mínim. És una casualitat? Investiga quina relació hi ha entre $CM'(q)$ i $C'(q) - CM(q)$ i enuncia la conclusió general.

Estudia i representa la funció $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$:

1. a) Punts de tall amb els eixos.

1. b) Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatius.

1. c) Curvatura i punt d'inflexió.

1. d) Fes un esborrany de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia la funció $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$:

1. a) Domini i simetria (comprova que és senar).

1. b) Assimptota horitzontal (calcula el límit quan $x \to +\infty$).

1. c) Extrems relatius i monotonia.

1. d) Amb la informació anterior, esboça la seva gràfica completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra la gràfica d'una funció racional amb asímptota vertical $x = 2$ i asímptota horitzontal $y = 1$.

1. a) Indica el domini de la funció i calcula, a partir de la gràfica, $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$, $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

1. b) Estima les coordenades del màxim relatiu marcat amb «?» i explica quina condició ha de complir la derivada en aquest punt.

1. c) Indica els intervals de creixement i decreixement de cada branca i raona per què la funció no té extrems en la branca dreta.

1. d) Una companya afirma que la funció podria ser $g(x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$, que té les mateixes asímptotes. Calcula $g'(x)$, estudia el seu signe i raona per què aquesta funció no pot ser la de la gràfica.