Operacions amb funcions

Donades les funcions $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ i $g(x) = x^2 + 4x - 7$, determina l'expressió simplificada de la funció suma $(f + g)(x)$ i de la funció diferència $(f - g)(x)$.

Un obrador artesanal de rebosteria té dos tipus de costos mensuals. El cost de forns i energia ve donat per la funció $F(x) = 0,5x^2 + 200$, on $x$ és el nombre de pastissos elaborats. D'altra banda, els costos d'ingredients i personal segueixen la funció $V(x) = 30x + 500$.

Calcula l'expressió de la funció de Cost Total $C(x)$ com a suma de totes dues i determina el cost que suposa per a l'obrador elaborar 100 pastissos en un mes.

Un jove emprenedor ven samarretes de disseny. Els seus ingressos per la venda de $x$ unitats venen donats per la funció $I(x) = 25x$, mentre que els costos de producció són $C(x) = x^2 + 5x + 40$.

Troba l'expressió analítica de la funció Benefici, definida com a $B(x) = (I - C)(x)$. Indica quantes samarretes ha de vendre perquè el benefici sigui nul (punt d'equilibri).

Donades les funcions $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ i $g(x) = x + 5$, calcula el domini de la funció producte $(f \cdot g)(x)$ i de la funció quocient $(\frac{f}{g})(x)$. Quins valors de $x$ s'han d'excloure en cada cas?

Considera les funcions $f(x) = 2x - 3$ i $g(x) = x^2 + 1$. Calcula el valor de les composicions següents en els punts indicats:

1. a) $(g \circ f)(2)$
2. b) $(f \circ g)(-1)$
3. c) $(f \circ f)(0)$

Donades les funcions $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ i $g(x) = x^2 + 1$.

Obtingues l'expressió de la funció composta $(f \circ g)(x)$ i calcula el seu valor per a $x = 2$. Pertany el valor $x = -2$ al domini d'aquesta nova funció? Justifica la teva resposta.

Donades les funcions $f(x) = \sqrt{x + 3}$ i $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, es demana fer un estudi exhaustiu de la seva composició. La figura mostra la gràfica de $f$.

1. Determina l'expressió algebraica de la funció composta $(g \circ f)(x)$.

2. Calcula de manera raonada el domini de definició de $(g \circ f)(x)$. Tingues en compte que perquè la composició existeixi, $x$ ha de pertànyer al domini de $f$ i $f(x)$ ha de pertànyer al domini de $g$.

3. És possible calcular $(f \circ g)(0)$? Justifica la teva resposta analitzant els dominis de totes dues funcions.

Donada la funció $f(x) = \frac{x - 4}{2}$, calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$. Comprova que el teu resultat és correcte realitzant la composició $(f \circ f^{-1})(x)$ i verificant que obtens la funció identitat.

En l'estudi d'un mercat, l'oferta d'un producte depèn del preu $p$ segons la funció $O(p) = 2p - 10$. Troba la funció inversa $O^{-1}$, que permet conèixer el preu necessari per obtenir una quantitat determinada d'oferta. Quin seria el preu si volem que l'oferta sigui de 40 unitats?

Donada la gràfica de la funció $f(x) = x + 3$, dibuixa de manera esquemàtica la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ utilitzant la simetria respecte a la recta $y = x$. Escriu l'expressió analítica de les dues funcions.

A la figura tens la gràfica de $f$ (en blau) i la recta $y = x$ (discontínua, en taronja). Cada marca dels eixos correspon a una unitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.