Concepte de límit

Imagina que estàs analitzant el creixement d'un nou compte d'una xarxa social. El nombre de seguidors en milers, després de $x$ setmanes, ve donat per la funció $f(x)$. Per entendre què passa prop de la tercera setmana, hem obtingut els valors següents:

$x$	2,9	2,99	2,999	...	3,001	3,01	3,1
$f(x)$	5,81	5,98	5,998	...	6,002	6,02	6,19

Observant la taula, estima de manera intuïtiva el valor del límit següent:

$$\lim_{x \to 3} f(x)$$

Calcula els límits següents de funcions polinòmiques i constants utilitzant les propietats bàsiques (substitució directa):

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} (3x + 4)$
3. c) $\lim_{x \to 5} (7)$

Donada la gràfica següent d'una funció $f(x)$, determina el valor dels límits laterals en el punt de ruptura $x = 2$:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) Existeix el límit global $\lim_{x \to 2} f(x)$? Justifica la resposta.

Considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

Calcula els límits laterals a $x = 1$ substituint directament en l'expressió corresponent:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) A la vista dels resultats, és la funció contínua a $x = 1$?

Donada la funció definida a trossos següent, determina el valor del paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció en el punt de ruptura $x = 3$.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx + 2 & \text{si } x < 3 \\ \frac{x+9}{x-1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

De vegades, el valor d'una funció en un punt no coincideix amb el valor al qual s'aproxima la funció prop d'aquest punt. Observa la gràfica següent i determina:

1. a) El valor de la funció en el punt: $f(3)$
2. b) El valor del límit: $\lim_{x \to 3} f(x)$

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació i determina, si existeixen, els valors dels límits indicats. Si algun límit no existeix, justifica breument per què basant-te en els límits laterals.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Observa la gràfica de la funció $h(x)$. Els punts marcats corresponen a valors de $x$ cada cop més propers a $0$ per la dreta.

1. a) Descriu amb les teves paraules què els passa als valors de $h(x)$ quan $x$ s'acosta a $0$ per la dreta.

1. b) Expressa aquest resultat usant la notació de límits.

Una atracció de fira molt popular obre les portes al públic. El nombre de persones per minut que s'acumulen a l'entrada durant els primers instants es modela mitjançant la funció $P(t) = \frac{100}{t^2 - 8t + 16}$, on $t$ és el temps en minuts.

1. a) Analitza què passa amb l'afluència de visitants quan el temps s'aproxima a $t = 4$ minuts calculant els límits laterals $\lim_{t \to 4^-} P(t)$ i $\lim_{t \to 4^+} P(t)$.

1. b) És possible que l'atracció continuï admetent visitants a aquest ritme després del minut 4? Justifica la teva resposta basant-te en el concepte de límit infinit.

Observa la gràfica de la funció $g(x)$ i analitza què passa quan la variable independent $x$ pren valors cada vegada més grans. A quin valor sembla aproximar-se la funció «a llarg termini»?

Expressa la teva conclusió utilitzant la notació de límits: $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

S'està estudiant la temperatura d'un component electrònic que s'escalfa quan s'encén. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) respecte al temps $t$ (en segons) segueix la funció $T(t) = \frac{80t}{t+2}$.

Calcula el valor de la temperatura quan el temps es fa «infinit» (és a dir, la temperatura d'estabilització):

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t+2}$$

Un nou videojoc d'estratègia estima que el nombre d'usuaris actius, mesurat en milers, segueix la funció $U(t) = \frac{20t + 50}{t + 1}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.

1. a) Completa la taula de valors següent per observar la tendència del nombre d'usuaris a mesura que passen els mesos:

$t$	10	100	1.000	10.000
$U(t)$

1. b) Utilitza els resultats de la taula per estimar el valor del $\lim_{t \to +\infty} U(t)$.

1. c) Què significa el resultat obtingut en el context del problema? Arribarà el joc a quedar-se sense usuaris?