Amortització de préstecs
Demanes un préstec per a un cotxe, una reforma o un negoci i el banc et diu "quota fixa de tants euros al mes". Aquesta quota no surt del no-res: és la mateixa matemàtica de les progressions geomètriques que ja coneixes, aplicada als diners que deus.
La fórmula de la quota constant
El capital pendent després de pagar $k$ quotes és $C_k = C_0(1+i)^k - a\cdot\dfrac{(1+i)^k-1}{i}$. Com que el préstec s'acaba de pagar, $C_n=0$: aïllant $a$ d'aquesta condició s'obté la fórmula de la quota.
Per celebrar el final dels exàmens, un grup d'amics decideix finançar la compra d'un equip de so per al seu local valorat en $1500 \text{ €}$. El banc els ofereix un…
Per celebrar el final dels exàmens, un grup d'amics decideix finançar la compra d'un equip de so per al seu local valorat en $1500 \text{ €}$. El banc els ofereix un préstec a un tipus d'interès nominal anual del $6 \%$ que hauran de retornar en quotes mensuals durant un any. La figura resumeix la situació. Identifica els elements del préstec per poder aplicar la fórmula de la renda constant:
-
Capital inicial ($C$)
-
Nombre de pagaments anuals ($k$)
-
Nombre total de quotes ($n$)
-
Tipus d'interès mensual ($i$) expressat en tant per u.
Un estudiant de Batxillerat vol comprar-se una bicicleta elèctrica de muntanya que costa $2.400 \text{ €}$. L'establiment li ofereix un finançament al $4,8 \%$ d'interès…
Un estudiant de Batxillerat vol comprar-se una bicicleta elèctrica de muntanya que costa $2.400 \text{ €}$. L'establiment li ofereix un finançament al $4,8 \%$ d'interès nominal anual repartit en quotes mensuals. Calcula quin serà el tipus d'interès mensual ($i$) que s'aplicarà en cada quota i expressa'l tant en percentatge com en tant per un.
Per muntar un petit estudi d'enregistrament i començar el seu canal de YouTube, Marcos ha demanat un préstec de $4\,500$ € a retornar en 2 anys mitjançant quotes…
Per muntar un petit estudi d'enregistrament i començar el seu canal de YouTube, Marcos ha demanat un préstec de $4\,500$ € a retornar en 2 anys mitjançant quotes mensuals constants. El banc li aplica un interès nominal anual del $6\%$. Calcula la quantia de la mensualitat que ha de pagar Marcos.
Composició de la quota: interessos i amortització
Cada quota $a$ es reparteix en dues parts: els interessos del període (el que costa tenir el deute) i l'amortització (el que de debò redueix el que deus).
Una jove emprenedora sol·licita un crèdit de $12\,000$ € per comprar una furgoneta de segona mà per al seu negoci de repartiment. El préstec s'amortitzarà en 4 anys amb…
Una jove emprenedora sol·licita un crèdit de $12\,000$ € per comprar una furgoneta de segona mà per al seu negoci de repartiment. El préstec s'amortitzarà en 4 anys amb pagaments trimestrals i un interès anual del $8\%$. Determina la part de la primera quota que correspon al pagament d'interessos i quina quantitat es destina realment a amortitzar el deute.
Un grup d'amics decideix comprar una taula de mescles professional que costa $1\,800$ €. Paguen $300$ € al comptat i financen la resta a un interès del $10\%$ anual…
Un grup d'amics decideix comprar una taula de mescles professional que costa $1\,800$ €. Paguen $300$ € al comptat i financen la resta a un interès del $10\%$ anual (nominal, amb període de capitalització mensual, és a dir, un tipus mensual $i=\frac{0{,}10}{12}$) per tornar-ho en 6 mesos amb quotes mensuals constants.
Recorda que la quota constant $a$ que amortitza un capital $C$ en $n$ períodes amb tipus $i$ per període és:
$a = C\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$
Elabora les dues primeres files de la taula d'amortització, indicant en cadascuna: capital pendent, interessos del període, capital amortitzat i quota mensual. Arrodoneix a cèntims.
El quadre d'amortització
| Període | Quota | Interès | Amortització | Capital pendent |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | $12\,000{,}00$ |
| 1 | $883{,}80$ | $240{,}00$ | $643{,}80$ | $11\,356{,}20$ |
| 2 | $883{,}80$ | $227{,}12$ | $656{,}68$ | $10\,699{,}52$ |
| 3 | $883{,}80$ | $213{,}99$ | $669{,}81$ | $10\,029{,}71$ |
Per finançar un viatge de fi de curs, una associació d'alumnes demana un préstec de $3\,000$ € al $5\%$ d'interès anual compost. L'acord consisteix a retornar-ho en un…
Per finançar un viatge de fi de curs, una associació d'alumnes demana un préstec de $3\,000$ € al $5\%$ d'interès anual compost. L'acord consisteix a retornar-ho en un únic pagament al cap de 18 mesos. A quant ascendiran els interessos totals? Si haguessin optat per amortitzar-ho mensualment durant aquest mateix temps, pagarien més o menys interessos en total? Raona la teva resposta sense necessitat de calcular la taula completa.
Una família contracta una hipoteca de $160.000 \text{ €}$ a un termini de 20 anys amb un tipus d'interès fix del $3,25 \%$ anual i pagaments mensuals. Després…
Una família contracta una hipoteca de $160.000 \text{ €}$ a un termini de 20 anys amb un tipus d'interès fix del $3,25 \%$ anual i pagaments mensuals. Després d'exactament 10 anys pagando les quotes puntualment, reben una herència i es plantegen cancel·lar el deute pendent.
Calcula la composició de la quota número 121, indicant quina part correspon al pagament d'interessos i quina part a l'amortització del capital.
Amortització anticipada
De vegades et arriben diners extra (una herència, una paga doble) i vols avançar part del deute. El banc sol oferir dos camins amb el capital pendent que queda després de l'abonament:
Comparem dues modalitats de préstec per finançar una reforma de $30.000 \text{ €}$ a retornar en 4 anys amb pagaments mensuals: Opció A: Interès nominal anual del $5 \%$…
Comparem dues modalitats de préstec per finançar una reforma de $30.000 \text{ €}$ a retornar en 4 anys amb pagaments mensuals:
-
Opció A: Interès nominal anual del $5 \%$ sense comissions inicials.
-
Opció B: Interès nominal anual del $4,2 \%$ però amb una comissió d'obertura del $1,5 \%$ sobre el capital sol·licitat, que es paga al comptat en el moment de la signatura.
Calcula el cost total de cada opció (suma de totes les quotes més comissions) i determina quina és més avantatjosa per al client.
Un autònom sol·licita un microcrèdit de $12.000 \text{ €}$ al $8 \%$ anual per ser retornat en 3 anys mitjançant quotes semestrals. Després del primer any (després de…
Un autònom sol·licita un microcrèdit de $12.000 \text{ €}$ al $8 \%$ anual per ser retornat en 3 anys mitjançant quotes semestrals. Després del primer any (després de pagar la segona quota), decideix fer una amortització anticipada de $3.000 \text{ €}$ per reduir el deute. El banc li permet triar entre reduir el temps del préstec o reduir l'import de les quotes restants.
Si opta per reduir l'import de la quota mantenint el termini de 3 anys original, calcula quin serà el nou import de la quota semestral.
Laboratori: construir i modificar el quadre d'amortització
Treballa amb el model de 4 500 € a 24 mesos, TIN anual 6 %, sense comissions. Prediu si baixar la quota allargant el termini redueix també el cost total. Introdueix en un full de càlcul: H1 = 4500, H2 = 0,005 i H3 = 24; H4 conté =H1*H2/(1-(1+H2)^(-H3)). Si H2 és zero, utilitza =H1/H3.
A la fila 2 col·loca el període 0 a A2 i el saldo inicial =H1 a E2. La fila 3 representa el primer pagament: A3 =A2+1, B3 =$H$4 (quota), C3 =E2*$H$2 (interessos), D3 =B3-C3 (amortització) i E3 =E2-D3 (saldo). Arrossega fins al període 24. Dona-hi format de dos decimals, conservant la precisió interna.
La recurrència permet veure com una quota redueix el deute:
Modifica l'algorisme per incloure una amortització addicional de 500 € just després del pagament 12: resta-la del saldo d'aquell període i recalcula la quota per als 12 restants. Compara mantenir termini davant de mantenir quota; en aquest segon cas atura el procés en saldar el deute i ajusta l'últim pagament. Prova també interès zero i verifica que el saldo mai no segueixi fent-se negatiu. Compara recurrència i fórmula tancada: quina ajuda a canviar condicions i quina evita recórrer totes les files. Lliura una recomanació justificada per quota i cost, no només per un dels dos.