Monomis

Per entendre com funcionen les expressions matemàtiques en economia, és fonamental identificar-ne els components. Completa la informació sol·licitada per als monomis següents:

1. a) $7x^3$

1. b) $-x^2y$

1. c) $\frac{3}{5}ab^4$

Per a cadascun d'ells, indica el coeficient, la part literal i el grau.

Un arquitecte està dissenyant un ventanal rectangular per a una oficina d'un banc. Les dimensions del ventanal vénen donades en funció d'una variable $x$ com es mostra en la imatge. Escriu el monomi que representa l'àrea del ventanal.

En el disseny d'interfícies d'usuari, de vegades s'usen variables per definir la mida dels elements. Perquè puguem sumar o restar dos elements, els seus monomis han de ser semblants.

Determina quines de les parelles de monomis següents són semblants entre si:

1. a) $5x^2y$ i $-2x^2y$

1. b) $3ab^2$ i $3a^2b$

1. c) $-x$ i $\frac{1}{2}x$

1. d) $4z^3$ i $4z^2$

Simplifica les expressions següents operant amb monomis i redueix el resultat a la seva forma més senzilla:

1. a) $\displaystyle \frac{(15x^3y^2) \cdot (-2xy^4)}{6x^2y^3}$

1. b) $\displaystyle -3a^2b \cdot \left(\frac{1}{3}ab^3\right) + \frac{10a^3b^4}{2}$

En una empresa de disseny d'envasos, es projecten caixes de cartró amb forma de prisma rectangular. La llargada de la base mesura el triple que l'amplada ($x$) i l'altura de la caixa és la meitat de l'amplada.

1. Expressa mitjançant un monomi en la variable $x$ el perímetre de la base de la caixa.

2. Expressa mitjançant un monomi el volum total de la caixa. Indica el coeficient, la part literal i el grau del monomi obtingut.

En una parcel·la rectangular destinada a horts urbans, es vol instal·lar un sistema de reg automàtic. La parcel·la principal té unes dimensions de $5x$ de llargada per $3y$ d'amplada. A l'interior, es reserva un espai quadrat de costat $2x$ per a un cobert d'eines que no necessita reg.

1. Troba el monomi que representa l'àrea total de la parcel·la.

2. Troba el polinomi que representa l'àrea que ha de quedar coberta pel sistema de reg.

3. Calcula l'àrea de reg si $x = 4$ metres i $y = 6$ metres.

Simplifica les expressions següents agrupant els monomis que siguin semblants, tal com faries en calcular el balanç total d'ingressos i despeses d'una petita botiga:

1. a) $3x^2 + 5x^2 - 2x^2$

1. b) $7ab - 3ab + ab$

1. c) $4x^3 - 5x + 2x^3 + 9x$

Determina si les afirmacions següents són verdaderes o falses, justificant raonadament la teva resposta mitjançant exemples o contraexemples:

1. a) La suma de dos monomis de grau 3 és sempre un altre monomi de grau 3.
2. b) El grau del monomi resultant de multiplicar un monomi de grau $n$ per un altre de grau $m$ és $n + m$.
3. c) En dividir dos monomis amb la mateixa part literal, el resultat és sempre un nombre real (grau 0).

Un analista financer modelitza els beneficis d'una startup tecnològica mitjançant el monomi $B(x, y) = 0,45x^2y$, on $x$ representa el nombre d'usuaris actius (en milers) i $y$ la despesa mitjana per usuari en màrqueting (en euros).

1. Calcula el valor numèric del benefici si l'empresa té $20.000$ usuaris ($x=20$) i la despesa en màrqueting és de $10$ € per usuari ($y=10$).

2. Si el nombre d'usuaris es duplica i la despesa en màrqueting es redueix a la meitat, què passa amb el benefici total? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats dels monomis.

En un centre de dades per a intel·ligència artificial, el volum d'aire necessari per refrigerar un rack de servidors es modelitza mitjançant el producte de tres dimensions crítiques. L'altura és un monomi $A(x, y) = \frac{3}{4}x^2y$, l'amplada és $B(x, y) = \frac{8}{9}xy^3$ i la profunditat és $C(x, y) = \frac{1}{2}x^3y^2$.

Obtén el monomi resultant que defineix el volum total $V(x, y)$ del rack i determina el seu coeficient, la seva part literal i el seu grau global. Què ocorreria amb el grau del monomi si dupliquéssim la potència de la variable $x$ en la profunditat?