Branques infinites en funcions exponencials i logarítmiques
Un vídeo es fa viral i les seves visites creixen cada dia més de pressa: això és una exponencial. El senyal del wifi es debilita cada cop menys a mesura que t'allunyes: també una exponencial, però decreixent. I la popularitat d'una cerca a Google creix al principi de pressa però cada cop més a poc a poc: això és un logaritme. Les tres situacions tenen branques infinites molt característiques, diferents de les que ja coneixes en les funcions racionals.
Exponencials a l'infinit: créixer o extingir-se
El comportament de $a^x$ a l'infinit depèn només de si la base $a$ és més gran o més petita que $1$.
Una colònia de floridura creix en una placa de Petri d'un laboratori escolar. L'àrea que cobreix, en $cm^2$, segueix el model d'una funció exponencial dependent del…
Una colònia de floridura creix en una placa de Petri d'un laboratori escolar. L'àrea que cobreix, en $cm^2$, segueix el model d'una funció exponencial dependent del temps $t$ en dies: $M(t) = 2 \cdot 1,5^t$. El gràfic mostra la funció per a $t$ entre 0 i 6 dies.
a) Cap a quin valor tendeix l'àrea coberta per la floridura si la colònia continua creixent de manera indefinida? Expressa aquest fet utilitzant la notació de límits.
b) Observa la gràfica de la funció i descriu el tipus de branca infinita que presenta quan $t \to +\infty$.
La intensitat del senyal de Wi-Fi d'una cafeteria, mesurada en microwatts ($\mu$W), disminueix a mesura que ens allunyem de l'antena segons la funció…
La intensitat del senyal de Wi-Fi d'una cafeteria, mesurada en microwatts ($\mu$W), disminueix a mesura que ens allunyem de l'antena segons la funció $I(d) = 60 \cdot e^{-0,1d}$, on $d$ és la distància en metres.
a) Calcula el límit de la intensitat quan la distància $d$ tendeix a $+\infty$.
b) Què significa el resultat obtingut en el context del problema? Existeix alguna asímptota horitzontal?
Troba les asímptotes horitzontals, si existeixen, de les funcions següents estudiant els seus límits a l'infinit: a) $f(x) = 5^{x} + 2$ b)…
Troba les asímptotes horitzontals, si existeixen, de les funcions següents estudiant els seus límits a l'infinit:
a) $f(x) = 5^{x} + 2$
b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 3$
Nota: Recorda estudiar tant el límit quan $x \to +\infty$ com quan $x \to -\infty$.
Asímptotes verticals en exponencials i logaritmes
El logaritme només està definit per a arguments positius: a l'extrem del domini, on l'argument s'acosta a $0$, apareix una asímptota vertical. Una cosa semblant passa si l'exponent d'una exponencial es dispara en un punt.
Donada la funció logarítmica $f(x) = \ln(x - 4)$, es demana: a) Troba el domini de definició de la funció. b) Estudia el comportament de la funció quan $x$ s'aproxima a…
Donada la funció logarítmica $f(x) = \ln(x - 4)$, es demana:
a) Troba el domini de definició de la funció.
b) Estudia el comportament de la funció quan $x$ s'aproxima a $4$ per la dreta ($x \to 4^+$) i determina si existeix una asímptota vertical.
Donada la funció $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcula els límits laterals següents: 1. $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ 2. $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ A la vista dels resultats, indica si…
Donada la funció $f(x) = e^{1/(x-3)}$, calcula els límits laterals següents:
-
$\lim_{x \to 3^-} f(x)$
-
$\lim_{x \to 3^+} f(x)$
A la vista dels resultats, indica si existeix una asímptota vertical a $x = 3$ i descriu el comportament de la funció a cada costat del punt.
El logaritme creix, però molt a poc a poc
A diferència de les exponencials, el logaritme tendeix a $+\infty$ quan $x\to+\infty$, però tan lentament que no té cap asímptota horitzontal ni vertical en aquest extrem: només una branca parabòlica de creixement molt suau.
Una empresa de logística estima que el cost de manteniment de la seva flota de camions, en euros, segueix el model $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, on $x$ és el nombre de…
Una empresa de logística estima que el cost de manteniment de la seva flota de camions, en euros, segueix el model $C(x) = 1500 + \log(x + 10)$, on $x$ és el nombre de quilòmetres recorreguts.
Analitza la branca infinita de la funció quan el quilometratge augmenta indefinidament ($x \to +\infty$). El cost de manteniment té un límit màxim o creix sense fita?
Associa cadascuna de les expressions de límits següents amb la característica gràfica corresponent d'una funció logarítmica $f(x) = \log_a(x)$ amb $a > 1$: 1.…
Associa cadascuna de les expressions de límits següents amb la característica gràfica corresponent d'una funció logarítmica $f(x) = \log_a(x)$ amb $a > 1$:
-
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
-
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
A) La funció presenta una branca parabòlica de creixement lent.
B) La funció té una asímptota vertical en l'eix d'ordenades.
Analitza el comportament de la funció $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ quan la variable independent creix indefinidament ($x \to +\infty$). Explica si la funció té alguna…
Analitza el comportament de la funció $g(x) = 2 + \frac{\ln(x)}{x}$ quan la variable independent creix indefinidament ($x \to +\infty$).
Explica si la funció té alguna asímptota horitzontal i representa-la esquemàticament en un eix de coordenades.
Models de saturació: l'asímptota horitzontal logística
Molts fenòmens reals s'estabilitzen en un valor límit. La temperatura d'un cos que es refreda decau exponencialment cap a la temperatura ambient (llei de refredament de Newton). Altres, com els usuaris d'una aplicació o la propagació d'una notícia, combinen una exponencial amb una fracció i s'estabilitzen en un valor màxim: és el patró de la corba logística.
Un estudi de mercat estima que el nombre de subscriptors d'una nova plataforma de streaming*, en milers de persones, segueix la funció…
Un estudi de mercat estima que el nombre de subscriptors d'una nova plataforma de streaming, en milers de persones, segueix la funció $S(t) = \frac{120}{1 + 4 \cdot e^{-0,1t}}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.
Determina el límit de subscriptors que tindrà la plataforma "a llarg termini", és a dir, quan $t \to +\infty$. Com s'anomena aquest comportament des del punt de vista de les branques infinites de la funció?
En un laboratori de química, la temperatura d'una reacció (en $^\circ C$) ve donada per la funció $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, on $t$ és el temps en minuts. La…
En un laboratori de química, la temperatura d'una reacció (en $^\circ C$) ve donada per la funció $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$, on $t$ és el temps en minuts. La figura mostra la gràfica de la funció durant els primers 10 minuts.
- a) Quina és la temperatura inicial de la reacció?
- b) A quina temperatura s'estabilitzarà la mescla si deixem passar molt de temps? Calcula $\lim_{t \to +\infty} T(t)$.
L'impacte d'una campanya de màrqueting digital per a una nova aplicació mòbil es mesura pel nombre d'usuaris actius diaris, $U(t)$, en milers, on $t$ és el temps en dies…
L'impacte d'una campanya de màrqueting digital per a una nova aplicació mòbil es mesura pel nombre d'usuaris actius diaris, $U(t)$, en milers, on $t$ és el temps en dies des del llançament. El model ve donat per la funció següent:
$$U(t) = \frac{120}{2 + 8e^{-0,15t}}$$La figura mostra la gràfica de $U(t)$ en els primers 40 dies.
Analitza el comportament de la comunitat d'usuaris a llarg termini calculant $\lim_{t \to +\infty} U(t)$ i interpreta el significat de l'asímptota horitzontal trobada. Què passaria amb el límit si l'exponent fos positiu, és a dir, si en lloc de $e^{-0,15t}$ aparegués $e^{0,15t}$? Justifica la teva resposta.
Comparar ordres de creixement: qui guanya a l'infinit?
Quan una exponencial, un logaritme i una potència de $x$ competeixen dins del mateix límit, hi ha una jerarquia fixa que decideix el resultat sense necessitat de més càlcul.
En un debat de classe sobre ordres de creixement, un estudiant afirma que, com que el numerador de la funció $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tendeix a infinit quan…
En un debat de classe sobre ordres de creixement, un estudiant afirma que, com que el numerador de la funció $g(x) = \frac{x}{e^x}$ tendeix a infinit quan $x \to +\infty$, la funció $g(x)$ tampoc no pot tenir límit finit a l'infinit.
Demostra mitjançant el càlcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$ si l'estudiant té raó o no, comparant l'ordre de creixement de la funció exponencial respecte al de la funció lineal. Presenta $g(x)$ alguna asímptota horitzontal? Indica la seva equació.
Un canal de continguts educatius obté uns ingressos mensuals per publicitat (en centenars d'euros) que segueixen la funció $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, on $x$…
Un canal de continguts educatius obté uns ingressos mensuals per publicitat (en centenars d'euros) que segueixen la funció $R(x) = 50 \cdot \ln(x+1) - 0,5x$, on $x$ representa els mesos transcorreguts des del seu llançament.
- a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} R(x)$ comparant els ordres de magnitud del creixement logarítmic enfront del creixement lineal.
- b) És aquest un bon model per representar els ingressos del canal a llarg termini? Justifica la teva resposta basant-te en la branca infinita obtinguda.