Funció de probabilitat i funció de distribució discretes

Determina raonadament si la taula següent pot representar la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta $X$. Per a fer-ho, comprova que es compleixen les propietats fonamentals de les probabilitats:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Una plataforma de streaming analitza el nombre de sèries que un usuari veu a la setmana. Es defineix la variable aleatòria discreta $X$ com el "nombre de sèries completades". La seva funció de probabilitat ve donada per la taula següent:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Troba el valor de la constant $k$ perquè la distribució estigui ben definida i calcula la probabilitat que un usuari vegi almenys 2 sèries a la setmana, és a dir, $P(X \ge 2)$.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta la funció de probabilitat de la qual ve donada per:

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ per a $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Escriu la taula de valors de la funció de probabilitat.
2. b) Comprova que la suma de totes les probabilitats és igual a $1$.
3. c) Calcula $P(X \ge 3)$.

Donada la funció de probabilitat següent d'una variable aleatòria discreta $X$, calcula les probabilitats que es demanen a continuació:

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

Es llança un dau de sis cares trucat, de manera que la probabilitat d'obtenir un nombre parell és el doble que la d'obtenir un nombre senar. Si tots els nombres parells tenen la mateixa probabilitat entre si, i passa el mateix amb els senars:

1. a) Determina la funció de probabilitat de la variable aleatòria $X$ = "resultat obtingut en llançar el dau".
2. b) Calcula la probabilitat d'obtenir un valor menor o igual a $3$.
3. c) Calcula la mitjana o valor esperat d'aquesta distribució.

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta la funció de distribució acumulada de la qual $F(x)$ es presenta a continuació:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) A partir de $F(x)$, obtén la funció de probabilitat $P(X=x_i)$ per a cada valor de la variable.
2. b) Calcula la probabilitat $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Representa gràficament la funció de probabilitat mitjançant un diagrama de barres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de logística organitza un torneig de dards per als seus empleats. La probabilitat d'encertar a la zona vermella és $k$, a la zona blava és $2k$ i a la zona blanca és $3k$. Si un jugador llança dos dards de forma independent, definim la variable aleatòria $X$ com «el nombre de vegades que el dard impacta a la zona vermella».

1. Troba el valor de $k$ perquè la distribució de probabilitat sigui vàlida (assumeix que el dard sempre impacta en alguna de les tres zones).

2. Obtén la funció de probabilitat de $X$.

3. Calcula el nombre esperat d'impactes a la zona vermella si l'empleat realitzés $50$ sèries de dos llançaments cadascuna.

En un taller especialitzat en reparació de dispositius mòbils, s'ha realitzat un estudi sobre el nombre de terminals que un tècnic és capaç de reparar completament en una jornada de vuit hores. Sigui $X$ la variable aleatòria que expressa aquest nombre. La funció de probabilitat ve donada per la taula següent, tot i que falta una dada per completar:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$k$	$0,05$

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè la taula representi una distribució de probabilitat legítima.
2. b) Quina és la probabilitat que el tècnic repari almenys dos dispositius en una jornada?
3. c) Si el taller rep un bo de productivitat els dies en què es reparen més de 2 terminals, quina probabilitat hi ha de rebre aquest bo?

Un creador de contingut en xarxes socials analitza el nombre de «desinscripcions» diàries al seu canal. Ha comprovat que la funció de probabilitat de la variable $X$ (nombre de baixes) respon a la fórmula $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ per a $x \in \{1, 2, 3\}$.

1. Troba el valor exacte de la constant $k$.

2. Calcula la probabilitat que en un dia hi hagi com a mínim 2 baixes.

3. El creador estima que cada baixa li suposa una pèrdua de $5$ euros en ingressos publicitaris, però guanyar un nou subscriptor li reporta $8$ euros. Si cada dia guanya exactament $3$ subscriptors nous, calcula el guany mitjà esperat per dia.