Polinomis. Factorització

En el disseny d'un nou nivell per a un videojoc, l'energia d'un escut protector segueix la funció polinòmica $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$, on $x$ representa el temps en segons des que s'activa. Utilitza el teorema del residu per comprovar si l'escut es queda sense energia exactament als $x = 3$ segons.

Simplifica l'expressió següent extreient el factor comú més gran possible dels termes del polinomi que representa els ingressos d'una petita empresa de samarretes personalitzades:

$I(x) = 12x^5 - 18x^4 + 6x^2$

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les identitats notables (productes notables). Aquestes expressions solen aparèixer en calcular variacions d'àrees en plànols arquitectònics:

1. a) $(2x + 5)^2$
2. b) $(3x - 2)^2$
3. c) $(x + 7)(x - 7)$

Factoritza els polinomis següents utilitzant les identitats notables (productes notables) i l'extracció de factor comú:

1. a) $R(x) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$
2. b) $S(x) = x^4 - 81$
3. c) $T(x) = 3x^2 + 30x + 75$

Un agricultor té una parcel·la quadrada i ha decidit ampliar-la. L'àrea de la nova parcel·la, que també és quadrada, ve donada pel trinomi $A(x) = x^2 + 10x + 25$, on $x$ és una longitud en metres i l'àrea està en metres quadrats. Factoritza aquesta expressió usant identitats notables (quadrat d'una suma) per trobar la mesura del costat de la nova parcel·la en funció de $x$.

Considera un polinomi desconegut $P(x)$ del qual només tenim informació parcial obtinguda mitjançant proves de laboratori informàtic. Sabem que en dividir $P(x)$ entre $(x - 3)$, el residu obtingut és $10$. D'altra banda, en dividir el mateix polinomi $P(x)$ entre $(x + 2)$, el residu és $-5$.

Determina, de forma raonada, quin serà el residu de la divisió del polinomi $P(x)$ entre el producte $(x - 3)(x + 2)$. Pista: Recorda que el grau del residu sempre és menor que el grau del divisor.

Determina el valor del coeficient desconegut $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 10$ sigui divisible per $(x - 5)$. Recorda que perquè sigui divisible, el residu de la divisió ha de ser zero.

Factoritza completament el polinomi següent descomponent-lo en el producte del nombre més gran possible de factors de grau u:

$P(x) = 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 12x$

Per fer-ho, utilitza l'extracció de factor comú, la regla de Ruffini i, si cal, la resolució de l'equació de segon grau resultant.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x + 12$ sigui divisible pel binomi $(x + 1)$. Un cop trobat el valor de $k$, troba les altres arrels del polinomi.

Factoritza el polinomi $P(x) = 12x^3 + 8x^2 - 13x + 3$ sabent que no té arrels enteres. Hauràs d'aplicar el teorema de l'arrel racional per identificar els possibles candidats de la forma $\frac{p}{q}$, on $p$ és divisor del terme independent i $q$ és divisor del coeficient principal.

Un cop trobada la primera arrel racional, utilitza la regla de Ruffini i resol l'equació de segon grau resultant per trobar les altres arrels i escriure la descomposició factorial completa.