Aproximació i errors

Un corredor de Fórmula 1 ha registrat un temps de volta de $1,24572$ minuts. Per simplificar els gràfics en la retransmissió televisiva, es requereix fer aproximacions d'aquest temps.

Calcula:

1. a) El temps truncat a les mil·lèsimes.

1. b) El temps arrodonit a les mil·lèsimes.

1. c) El temps arrodonit a les centèsimes.

1. d) Explica breument per què el resultat de truncar i el d'arrodonir a les mil·lèsimes són diferents en aquest cas concret.

En una botiga d'electrònica, el preu real d'un telèfon intel·ligent és de $456,28$ €. Tanmateix, al cartell publicitari de l'aparador, el propietari decideix posar el preu arrodonit a les unitats perquè sigui més atractiu visualment.

Calcula:

• El valor aproximat que apareix al cartell.

• L'error absolut comès amb aquesta aproximació.

• L'error relatiu expressat en percentatge (amb dos decimals).

En mesurar el gruix d'un llibre de text amb un regle que té com a divisió mínima els mil·límetres, obtenim un valor de $2,4$ cm.

Indica:

• Quina és la cota d'error absolut d'aquesta mesura.

• Entre quins valors es troba el gruix real del llibre, expressant el resultat mitjançant un interval.

Tenim dues mesures diferents fetes per diferents operaris:

1. Un fuster mesura un llistó de fusta de $2,5$ metres i comet un error absolut de $1$ cm.

2. Un topògraf mesura una parcel·la de $450$ metres i comet un error absolut de $1$ metre.

Calcula l'error relatiu de cada mesura i determina raonadament quina de les dues aproximacions és de millor qualitat (més precisa).

Dos tècnics de so estan calibrant equips per a un festival de música. El primer tècnic mesura la longitud d'un cable d'antena i obté $15,25$ m, quan el seu valor real és de $15,30$ m. El segon tècnic mesura la latència d'un senyal digital i obté $0,018$ s, essent el valor real de $0,020$ s.

1. a) Calcula l'error absolut comès per cada tècnic.
2. b) Determina quina de les dues mesuraments és més precisa comparant els seus errors relatius.
3. c) Si el primer tècnic arrodoneix la seva mesura a les dècimes, quin seria el nou error relatiu comès?

El nombre auri o d'or, representat per la lletra grega $\phi$, té un valor exacte de $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Un estudiant utilitza la calculadora i obté que el seu valor és aproximadament $1,6180339...$

Si l'estudiant decideix prendre com a aproximació del nombre auri el valor $1,62$:

• Es tracta d'un arrodoniment o d'un truncament a les centèsimes?

• Calcula l'error absolut comès (pren el valor de la calculadora com a valor real).

• Aquest error absolut és menor que una mil·lèsima?

Una empresa de fabricació de components electrònics produeix resistències que han de tenir un valor nominal de $470$ ohms ($\Omega$). El control de qualitat permet un marge d'error (tolerància) tal que el valor real $R$ ha de complir la condició $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Expressa mitjançant un interval de la recta real els valors de resistència permesos.
2. b) Si una resistència mesurada dóna un valor de $482,5 \Omega$, està dins del marge de tolerància?
3. c) Calcula la cota d'error relatiu màxim que accepta l'empresa per a aquest component.

El radi d'una pista circular de patinatge s'ha mesurat amb una cinta mètrica, i s'ha obtingut un valor de $12,4$ metres. Es sap que l'error absolut comès en aquest mesurament és, com a màxim, de $0,05$ metres.

1. a) Escriu l'interval en què es troba el valor real del radi.
2. b) Calcula els valors màxim i mínim possibles per a l'àrea de la pista (utilitza $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Si prenem com a aproximació de l'àrea el valor calculat amb el radi de $12,4$ m, quina és la cota d'error absolut per a aquesta àrea?

En un laboratori de biologia, s'estima que el nombre de bacteris en una placa de cultiu és de $4,25 \times 10^7$, amb un error relatiu del $2\%$.

1. a) Calcula l'error absolut comès en l'estimació.
2. b) Entre quins dos valors es troba el nombre real de bacteris?
3. c) Si després d'una hora el nombre de bacteris es triplica, expressa el nou total en notació científica i calcula el seu ordre de magnitud.

Un xip d'alta precisió té una base rectangular les dimensions de la qual s'han mesurat amb un peu de rei làser. La longitud obtinguda és de $l = 4,25$ mm i l'amplada és de $w = 2,80$ mm. Es sap que l'aparell de mesura té un error absolut màxim de $0,005$ mm en cada mesurament. Calcula:

1. a) La cota de l'error absolut comès en calcular l'àrea del xip.
2. b) L'interval de valors possibles en què es troba l'àrea real.
3. c) Quin és l'error relatiu màxim comès en el càlcul de l'àrea, expressat en percentatge i arrodonit a les mil·lèsimes?

En un experiment de física de partícules, s'estima que la massa d'una mostra és de $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg amb un error relatiu del $0,2\%$. Simultàniament, el volum ocupat per la mostra es mesura com a $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ amb una cota d'error absolut de $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determina si és possible que la densitat real ($\rho = m/V$) de la mostra superi els $3000$ $kg/m^3$, justificant la teva resposta mitjançant el càlcul de les cotes d'error corresponents.

Considera els nombres reals $A = \sqrt{7}$ i $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Representa de forma exacta el nombre $A$ en la recta real utilitzant el teorema de Pitàgores.
2. b) Aproxima tots dos nombres per arrodoniment a les mil·lèsimes.
3. c) Quin error relatiu es comet en aproximar la suma $A + B$ pel nombre $5,4$?

Un analista financer utilitza l'aproximació del nombre auri $\Phi \approx 1,618$ per predir el comportament d'una criptomoneda en un gràfic de creixement. Sabent que el valor exacte és $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcula l'error absolut comès en aquesta aproximació (utilitza tots els decimals de la teva calculadora per al valor real).
2. b) Calcula l'error relatiu comès.
3. c) Si l'analista aplica aquesta proporció a una inversió de $2.500.000$ €, quina seria la diferència en euros entre utilitzar el valor aproximat i el valor real? És significatiu aquest error en el context financer?

Un senderista utilitza un GPS de muntanya per orientar-se. El dispositiu estima la distància al refugi de la seva destinació mitjançant la fórmula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. En un punt de la ruta, les coordenades enregistrades són $x = 800$ m i $y = 600$ m. Tanmateix, el GPS té una imprecisió (cota d'error absolut) de $2$ metres en cada eix.

Calcula la cota de l'error relatiu comès en estimar la distància total $d$. Arrodoneix el resultat a quatre xifres significatives.