Estadística descriptiva bidimensional

En l'estudi de les relacions entre dues variables, és fonamental distingir si existeix una dependència exacta o una relació estadística. Indica en quins dels casos següents la relació és funcional (existeix una fórmula exacta) i en quins és estadística (existeix una tendència però amb variabilitat):

• a) El nombre de litres de gasolina repostats en una benzinera i el cost total a pagar.

• b) La nota obtinguda en un examen de Matemàtiques i el nombre d'hores que l'alumne ha dedicat a estudiar aquella setmana.

• c) El temps que roman encesa una bombeta de baix consum i la despesa energètica registrada pel comptador.

• d) L'alçada d'una persona i el número de calçat que utilitza.

• e) La temperatura màxima diària en una ciutat i el nombre de gelats venuts en un quiosc d'aquesta mateixa ciutat.

Un grup de 20 adolescents ha estat classificat segons el seu hàbit de lectura (Lector freqüent / No lector) i la seva preferència pel format de llibres (Paper / Digital). Les dades obtingudes són:

• 8 són lectors freqüents i prefereixen el format paper.

• 4 són lectors freqüents i prefereixen el format digital.

• 2 no són lectors però prefereixen el format paper.

• 6 no són lectors i prefereixen el format digital.

Organitza aquesta informació en una taula de freqüències conjuntes (taula de contingència), incloent-hi els totals marginals a les files i columnes.

A partir de la taula de contingència següent que mostra el tipus de dispositiu principal utilitzat per estudiar i el curs de l'alumne (4t d'ESO o 1r de Batxillerat), respon a les preguntes plantejades:

• a) Quina és la freqüència absoluta conjunta dels alumnes que estan a 1r de Batxillerat i utilitzen principalment el portàtil?

• b) Determina la freqüència marginal dels alumnes que utilitzen Tauleta.

• c) Quants alumnes en total han participat en l'estudi?

• d) Quin percentatge dels alumnes totals són de 4t d'ESO?

Donada la taula de freqüències conjuntes següent de les variables $X$ (nombre de fills) i $Y$ (nombre d'habitacions a l'habitatge):

1. a) Calcula les distribucions marginals de $X$ i $Y$.
2. b) Determina la mitjana i la variància de la variable $Y$ condicionada al fet que $X = 1$.
3. c) Calcula la covariància $S_{xy}$ i dictamina si les variables són independents o presenten algun tipus d'associació.

Donades les parelles de variables següents, indica si esperes trobar una correlació positiva, negativa o nul·la:

• a) El nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe i la quantitat de combustible que queda al dipòsit.

• b) La nota mitjana de Batxillerat i el nombre d'hores que es passa un alumne jugant a videojocs.

• c) L'edat d'una persona i el seu número de DNI.

• d) Els ingressos mensuals d'una persona i la quantitat de diners que estalvia al mes.

• e) La velocitat mitjana d'un atleta en una cursa i el temps que triga a completar-la.

Es disposa d'una variable bidimensional $(X, Y)$ on $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ i $Y$ el consum elèctric d'un centre comercial en $kW$. Sabem que el centre mitjà de la distribució és el punt $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ té un pendent de $b = 15$:

• a) Escriu l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ utilitzant la forma punt-pendent: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) Quin seria el consum esperat per a una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Associa cadascun dels valors següents del coeficient de correlació lineal de Pearson, $r$, amb el gràfic que millor el representi:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

S'ha obtingut la recta de regressió que relaciona el temps d'ús diari d'una xarxa social en minuts ($X$) amb el nivell de bateria consumit en percentatge ($Y$). L'equació de la recta és:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estima el percentatge de bateria consumit si un usuari utilitza la xarxa social durant $120$ minuts.

• b) Si el coeficient de correlació lineal és $r = 0,92$, creus que l'estimació anterior és fiable? Justifica la teva resposta.

Un club de bàsquet vol predir el nombre de punts anotats pels seus jugadors ($Y$) en funció dels minuts jugats ($X$). Després d'analitzar els jugadors, s'obtenen les dades següents:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Nombre de jugadors analitzats: $n = 10$.

1. Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson.

2. Si un jugador juga $25$ minuts, realitza una estimació dels punts que anotarà utilitzant la recta de regressió corresponent.

Una empresa de missatgeria estudia la relació entre el pes dels paquets en kg ($X$) i el cost de l'enviament en euros ($Y$). S'han analitzat 5 enviaments amb els resultats següents:

Calcula:

1. El centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Les desviacions típiques marginals $\sigma_x$ i $\sigma_y$.

La taula següent mostra les notes obtingudes per 6 alumnes en un examen de Matemàtiques ($X$) i en un d'Economia ($Y$):

1. Troba la covariància $\sigma_{xy}$.

2. Obtén l'equació de la recta de regressió d'Economia ($Y$) sobre Matemàtiques ($X$).

3. Quina nota s'esperaria en Economia per a un alumne que ha tret un $10$ en Matemàtiques?

Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional són $4x - 5y + 12 = 0$ i $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifica quina d'elles és la de $Y$ sobre $X$ i quina la de $X$ sobre $Y$. Justifica la teva resposta utilitzant el fet que el producte dels seus pendents ha de ser igual a $r^2$ i que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$.
3. c) Determina els valors mitjans $\bar{x}$ i $\bar{y}$.