Sistemes d'inequacions

Determina el conjunt de nombres reals que compleixen simultàniament les dues condicions següents. Expressa el resultat en forma d'interval i representa'l sobre la recta real:

1. El doble d'un nombre és més gran que 4.

2. Aquest mateix nombre és menor o igual que 7.

Escriu el sistema d'inequacions corresponent i troba la seva solució.

Resol el sistema d'inequacions lineals amb una sola incògnita següent:

$\begin{cases} 2x - 5 < 3 \\ 3x + 2 \ge 8 \end{cases}$

1. a) Resol cada inequació per separat i expressa la solució del sistema com a interval. Representa-la a la recta real.

1. b) Determina si el valor $x = 3$ forma part de la solució, comprovant-ho en les dues inequacions.

Representa en el pla cartesià la regió de punts $(x, y)$ que satisfan la inequació lineal:

$x + y \le 5$

Per fer-ho, dibuixa primer la recta associada, tria un punt de prova (com l'origen de coordenades) i ombreja el semipla correcte.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica gràficament la regió factible (el recinte de solucions comunes) del sistema d'inequacions següent en el primer quadrant:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$

A la figura tens dibuixats els eixos i la recta $x + 2y = 6$, amb la regió factible ombrejada.

1. a) Comprova, amb l'ajuda de la figura, que la regió és un triangle.

1. b) Calcula les coordenades dels tres vèrtexs que formen el triangle de la solució.

Comprova si els punts $A(1, 1)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 3)$ són solucions del sistema d'inequacions:

$\begin{cases} x + y > 2 \\ 2x - y < 5 \end{cases}$

Has de verificar cada punt en totes dues inequacions per confirmar si pertanyen a la regió d'intersecció.

Determina de manera gràfica la regió factible del pla que satisfà el sistema d'inequacions lineals següent:

$$\begin{cases} 2x + y \geq 4 \\ x - 2y < 2 \\ y \leq 3 \end{cases}$$

Dibuixa al teu quadern uns eixos de coordenades i resol els apartats següents:

1. a) Representa cadascuna de les tres rectes frontera. Fes servir traç continu si la desigualtat no és estricta i traç discontinu si ho és.

1. b) Tria un punt de prova per a cada recta, decideix quin semiplà correspon a cada inequació i ombreja la regió factible.

1. c) Indica si el punt $P(1, 2)$ forma part de la solució del sistema. Justifica-ho substituint-ne les coordenades en les tres inequacions.

Un estudiant de 1r de Batxillerat vol organitzar una festa de graduació. El cost del lloguer del local és de $200$ € i cada menú costa $15$ €. Si el pressupost total disponible és de com a màxim $1500$ € i s'espera que hi assisteixin com a mínim $40$ persones:

1. a) Planteja un sistema d'inequacions que modeli aquesta situació, anomenant $x$ el nombre d'assistents.
2. b) És possible que assisteixin $90$ persones a la festa? Justifica la teva resposta fent servir el sistema plantejat.

Una petita empresa fabrica dos tipus de fundes per a mòbils: el model "Eco" ($x$) i el model "Premium" ($y$). Per raons de producció, l'empresa ha de complir aquestes condicions diàries:

1. El nombre total de fundes fabricades no pot superar les $100$ unitats.

2. S'han de fabricar com a mínim $20$ fundes del model "Premium".

Planteja el sistema d'inequacions que representa aquestes restriccions i dibuixa de forma esquemàtica la regió on es troben les possibles combinacions de producció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de tecnologia llança dos nous models d'auriculars sense fil: el model Sonic ($x$) i el model Bass ($y$). A causa de limitacions de producció i mercat, s'han de complir les condicions següents:

1. El nombre total d'unitats fabricades no pot superar les 80 diàries.

2. Per mantenir l'exclusivitat, s'han de fabricar com a mínim 20 unitats del model Sonic.

3. El nombre d'unitats del model Bass no pot ser superior al triple del model Sonic.

Escriu el sistema d'inequacions que representa aquestes restriccions i dibuixa la regió de solucions possibles.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Resol gràficament el sistema següent de quatre inequacions i indica si la regió resultant és acotada (tancada) o no acotada (oberta). Calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs:

$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 2x - y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

Calcula el conjunt de valors de $x$ que satisfan simultàniament les tres condicions següents:

1. El doble de $x$ augmentat en 10 unitats és més gran que el seu triple disminuït en 5.

2. La quarta part de $x$ és menor o igual que 4.

3. $x$ ha de ser un nombre positiu.

Expressa la solució mitjançant una única inequació amb valor absolut si és possible, o com un interval.

Sigui el següent sistema d'inequacions dependent d'un paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \\ y \leq k \end{cases}$$

Analitza com varia la forma de la regió factible (si és un triangle, un trapezi o si desapareix) en funció dels valors que prengui $k$. En particular, determina el valor de $k$ per al qual la regió factible és un trapezi d'àrea exactament $8$ unitats quadrades.