Dibuixar una funció pas a pas

Un repartidor de menjar a domicili cobra un sou base de $4$ € per hora treballada. Representa gràficament la funció lineal $f(x) = 4x$, on $x$ és el nombre d'hores i $f(x)$ els diners cobrats en euros. Per dibuixar-la, segueix aquests passos:

1. Crea una taula de valors calculant les imatges per a $x = 0, 1, 2$ i $3$.

2. Representa els punts al pla cartesià.

3. Uneix els punts amb una semirecta (tenint en compte que les hores no poden ser negatives).

Te'n donem els eixos ja preparats perquè hi situïs els punts:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una plataforma de streaming ofereix una tarifa plana de $12$ € al mes, sense importar quantes pel·lícules vegis. Representa gràficament la funció $f(x) = 12$, on $x$ és el nombre de pel·lícules vistes en un mes i $f(x)$ és el cost mensual en euros.

1. a) Raona quin tipus de funció és (lineal, quadràtica o constant).

1. b) Determina el valor de la funció per a $x = 0$, $x = 10$ i $x = 20$.

1. c) Dibuixa la gràfica en uns eixos coordenats: col·loca a l'eix horitzontal el nombre de pel·lícules ($x$) i a l'eix vertical el cost en euros ($y$), i tria una escala adequada a cada eix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra $1$ € per desbloquejar el patinet i $0,50$ € per cada minut d'ús. Representa la funció $f(x) = 0,5x + 1$, on $x$ són els minuts i $f(x)$ és el cost en euros.

1. a) Calcula el cost per a $0$, $5$, $10$ i $20$ minuts.

1. b) Identifica l'ordenada a l'origen i explica què significa en aquest context real.

1. c) Dibuixa la gràfica resultant. Pots usar com a guia aquests eixos amb la seva quadrícula (cada quadre són $5$ minuts en horitzontal i $5$ € en vertical).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa gràficament la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 4$. Segueix aquests passos de manera ordenada:

1. Identifica els punts de tall amb l'eix $X$ resolent l'equació $x^2 - 4 = 0$.

2. Troba el punt de tall amb l'eix $Y$ calculant $f(0)$.

3. Determina les coordenades del vèrtex $V(x_v, y_v)$.

4. Dibuixa la paràbola unint els punts anteriors. Pots ajudar-te dels eixos de la figura, on cada divisió equival a 1 unitat en ambdós eixos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa la paràbola $f(x) = -x^2 + 1$. Segueix aquests passos per no equivocar-te:

1. Observa el signe del coeficient de $x^2$ i decideix si les branques van cap amunt o cap avall.

2. Calcula el vèrtex. Com que no hi ha terme en $x$, quina és la seva abscissa $x_v$?

3. Troba els punts de tall amb l'eix $X$.

4. Dibuixa la corba de manera simètrica respecte de l'eix $Y$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un jugador de bàsquet llança un tir lliure la trajectòria del qual segueix la funció $h(t) = -t^2 + 4t + 2$, on $h$ és l'altura en metres i $t$ és el temps en segons des del llançament. Representa gràficament la trajectòria de la pilota seguint aquests passos:

1. Identifica el tipus de funció i determina l'orientació de les seves branques.

2. Calcula les coordenades del vèrtex de la paràbola.

3. Troba els punts de tall amb l'eix d'abscisses ($OX$) i amb l'eix d'ordenades ($OY$).

4. Estableix el domini real de la funció tenint en compte el context físic (el temps no és negatiu i la pilota s'atura quan toca terra).

5. Dibuixa la gràfica utilitzant les dades anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa pas a pas la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. Calcula els valors del primer tram per a $x = -1, x = 0$ i el valor al qual s'acosta quan $x = 1$.

2. Dibuixa el segon tram sabent que és una funció constant per a valors majors o iguals a $1$.

3. Para atenció al punt d'unió a $x = 1$ per veure si hi ha un salt o si la funció és contínua.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria cobra als seus clients segons el pes dels paquets. La tarifa es defineix per la funció a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 15 & \text{si } 5 \le x \le 10 \\ x + 5 & \text{si } x > 10 \end{cases}$

on $x$ és el pes en kg i $f(x)$ el preu en euros. Representa la funció pas a pas (pots usar com a guia els eixos de la figura, amb 1 kg = 30 unitats en horitzontal i 1 € = 12 unitats en vertical, o dibuixar els teus en paper):

1. Identifica el tipus de funció en cadascun dels tres intervals.

2. Calcula els valors de la funció en els punts de ruptura ($x=5$ i $x=10$).

3. Determina si la funció és contínua en aquests punts de ruptura calculant els límits laterals.

4. Dibuixa cada tram de la funció en el seu interval corresponent, indicant amb un punt ple o buit si l'extrem de cada tram pertany o no a la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representaràs la funció de valor absolut $f(x) = |x - 3|$ (al teu quadern, si vols, per ajudar-te). Segueix aquests passos:

1. Representa primer la recta auxiliar $y = x - 3$ de manera discontínua.

2. Identifica el punt on la recta talla l'eix $X$ (és el punt on canvia la direcció de la gràfica, el vèrtex).

3. "Reflecteix" la part de la recta que queda per sota de l'eix $X$ cap a la part positiva de les $Y$.

4. Remarca el traç final de la funció $f(x)$.

Ara respon a partir de la teva representació:

1. a) Quina és l'abscissa $x$ del punt en què la recta $y = x - 3$ talla l'eix $X$?

1. b) Quin valor pren la recta auxiliar en $x = 0$? I quin valor pren $f(0)$ després de reflectir?

1. c) Calcula $f(5)$.

1. d) Per a $x < 3$, la gràfica de $f$ coincideix amb la recta $y = -x + 3$. Quin és el seu pendent?

Es valorarà que la recta auxiliar, el punt de tall, la reflexió i el traç final siguin coherents entre si, i que els valors que donis als apartats coincideixin amb la teva gràfica.

Volem analitzar l'evolució del saldo d'un compte jove que ha tingut moviments bruscs. La funció que descriu el saldo estimat és $f(x) = |x^2 - 4x|$, on $x$ representa els mesos transcorreguts. Dibuixa la gràfica seguint aquest procediment:

1. Representa primer la funció parabòlica auxiliar $g(x) = x^2 - 4x$, trobant-ne el vèrtex i els talls amb l'eix $OX$.

2. Identifica els intervals on el valor de $g(x)$ és negatiu.

3. Aplica la definició de valor absolut per a «reflectir» la part negativa de la gràfica sobre l'eix $OX$.

4. Dibuixa la gràfica definitiva de $f(x)$, assegurant-te que no hi hagi valors per sota de l'eix d'abscisses.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$.

1. a) Explica per què el valor $x = 0$ no pertany al domini.

1. b) Calcula les imatges per a $x = 1, 2, 4$ i els seus oposats $x = -1, -2, -4$.

1. c) Representa en uns eixos de coordenades els punts obtinguts i dibuixa les dues branques de la hipèrbola tenint en compte que els eixos són asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el mercat de les sabatilles d'esport, la demanda d'un model específic es regeix per la funció racional $q(p) = \frac{200}{p-10}$, on $q$ és la quantitat de parells demanats i $p$ és el preu en euros ($p > 10$). Estudia la corba de demanda fent l'anàlisi següent (pots fer un dibuix al teu quadern per guiar-te):

1. Determina el domini de definició de la funció en el context econòmic.

2. Troba les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal.

3. Obtén els punts de tall amb els eixos, si n'hi ha.

4. Confecciona una petita taula de valors per a preus significatius (per exemple, $p=20$, $p=50$ i $p=110$).

5. Descriu com és la gràfica de la funció (posició respecte a les asímptotes i forma de la corba) i indica clarament la tendència de la demanda a mesura que puja el preu.

El cost mitjà de fabricar una sèrie de samarretes personalitzades ve donat per la funció $C(x) = \frac{4x + 100}{x}$, on $x$ és el nombre de samarretes produïdes ($x > 0$) i $C(x)$ és el cost per unitat en euros. Representa aquesta funció racional seguint aquests passos:

1. a) Simplifica l'expressió de la funció dividint cada terme del numerador pel denominador.

1. b) Identifica l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal. Explica el significat econòmic de l'asímptota horitzontal.

1. c) Determina si la funció és creixent o decreixent.

1. d) Calcula el cost mitjà per a $x=10$, $x=20$ i $x=50$.

1. e) Dibuixa la corba de cost mitjà, assenyalant les asímptotes i els punts calculats a l'apartat anterior.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.