Tipus de funcions

Una plataforma de streaming de videojocs ofereix una subscripció mensual que consisteix en una quota fixa de $12$ € al mes més un cost addicional de $0,50$ € per cada hora de joc al "núvol".

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció $f(x)$ que relaciona el cost mensual amb el nombre d'hores jugades $x$.

1. b) Indica quina és el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$) d'aquesta funció.

1. c) Quant pagarà un estudiant que hagi jugat $20$ hores en un mes?

Un servei municipal de lloguer de patinets elèctrics vol modelar els seus costos. El cost total diari d'operació $C(x)$ (en euros) depèn dels quilòmetres recorreguts en conjunt per la flota $x$ i segueix una funció lineal. Se sap que un dia que els patinets van recórrer $20$ km el cost va ser de $15$ €, i un altre dia amb $50$ km recorreguts el cost va ascendir a $30$ €. La figura recull aquestes dues dades.

1. a) Determina l'expressió analítica de la funció $C(x)$.
2. b) Identifica i explica el significat del pendent i de l'ordenada a l'origen en el context del problema.
3. c) Si el pressupost màxim diari és de $50$ €, quants quilòmetres poden recórrer com a màxim?

Calcula la funció inversa de la funció lineal següent, que representa la conversió d'una moneda virtual d'un joc a euros:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Segueix els passos apresos a classe:

1. Substitueix $f(x)$ per $y$.

2. Aïlla la variable $x$ en funció de $y$.

3. Intercanvia les variables per obtenir $f^{-1}(x)$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Troba la seva funció inversa $f^{-1}(x)$.

1. b) Demostra analíticament que la composició $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

1. c) Representa ambdues funcions en el mateix pla cartesià i dibuixa la recta de simetria $y = x$. Indica les coordenades dels punts on la funció i la seva inversa coincideixen (punts invariants).

El disseny d'una nova rampa per a un parc de skate segueix la forma d'una funció arrel quadrada. Perquè l'estructura sigui estable, l'enginyer ha de calcular-ne el domini de definició.

Troba el domini de la funció:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Recorda que per a les funcions amb arrels d'índex parell, el radicand ha de ser major o igual a zero.

Un dron de vigilància forestal analitza el terreny seguint una trajectòria l'altura de la qual respecte al sòl ve donada per la funció $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, on $x$ és la distància horitzontal des de la base d'operacions, en quilòmetres, i $h(x)$ és l'altura, en hectòmetres.

1. a) Determina el domini de definició de la funció en aquest context (tingues en compte quins valors de $x$ tenen sentit com a distància).

1. b) Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de l'altura en l'interval $[0, 4]$.

1. c) A quina distància de la base el dron assoleix una altura de $4$ hectòmetres?

Un jove emprenedor ven samarretes personalitzades per internet. Ha decidit aplicar un descompte per volum de compra, definint el preu total mitjançant la funció a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

On $x$ és el nombre de samarretes comprades.

1. a) Quant costarà comprar $4$ samarretes?
2. b) Quin és el preu d'una comanda de $10$ samarretes?
3. c) És la funció contínua en el punt de ruptura $x = 5$? Justifica la teva resposta calculant el valor de la funció en aquest punt per tots dos trams.

L'ajuntament d'una localitat ha establert una nova tarifa per al consum d'aigua orientada a l'estalvi. El cost mensual $f(x)$ en euros per $x$ metres cúbics consumits es defineix mitjançant la funció a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} 0,8x + 12 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1,2x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la tarifa sigui contínua en el punt de canvi de tram (perquè no hi hagi salts bruscos a la factura).
2. b) Representa gràficament la funció resultant.
3. c) Quant pagarà una família que consumeix $22$ $m^3$ al mes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una plataforma de venda en línia de videojocs ofereix un descompte que depèn de la despesa total $x$ realitzada. La funció que descriu l'import final a pagar $G(x)$ després d'aplicar el descompte és:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Estudia si la funció és contínua a $x = 30$. Què significa aquest resultat per al comprador?
2. b) Representa la funció gràficament.
3. c) Si un usuari ha pagat $54$ €, quin era el preu original de la seva compra abans del descompte?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa gràficament la funció de valor absolut $f(x) = |x + 2|$.

Per a això:

1. Identifica el vèrtex de la funció (el valor de $x$ que fa que l'interior del valor absolut sigui zero).

2. Crea una taula de valors amb dos punts a l'esquerra i dos a la dreta del vèrtex.

3. Dibuixa la gràfica resultant en uns eixos cartesians, marcant el vèrtex i els punts de la taula.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Representa gràficament la funció $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Per a fer-ho, segueix aquests passos:

1. a) Representa la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ trobant el seu vèrtex i punts de tall amb l'eix $OX$.
2. b) Aplica la definició de valor absolut per expressar $f(x)$ com una funció definida a trossos.
3. c) Indica els intervals on la funció és creixent i decreixent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba l'expressió analítica de la funció $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Per a això:

1. a) Divideix la recta real en els intervals definits per les arrels dels arguments dels valors absoluts.

1. b) Escriu la funció resultant com una funció definida a trossos, amb l'expressió de $f(x)$ en cada interval.

1. c) Representa-la gràficament. Quin nom rep aquest tipus de funció, formada per trams de rectes? Quin és el seu valor mínim absolut?

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, fes les tasques següents:

1. a) Completa la taula de valors per a $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica quines són les asímptotes de la funció.
3. c) Explica raonadament per què el valor $x = 0$ no pertany al domini d'aquesta funció.

En un laboratori de química, la concentració d'un reactiu en una solució (en mg/L) en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per la funció de proporcionalitat inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) Quina és la concentració en l'instant inicial $t=0$?
2. b) Representa la funció per a valors de $t \ge 0$.
3. c) És possible que la concentració arribi a ser de $0$ mg/L? Justifica la teva resposta analitzant l'asímptota horitzontal de la funció.
4. d) En quin moment la concentració és d'exactament $5$ mg/L?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.