Probabilitat condicionada

En una baralla espanyola de 40 cartes (4 pals amb 10 cartes cada un: sota, cavall i rei són les figures de cada pal), s'extreu una carta a l'atzar. Considerem els successos $A$: "treure un rei" i $B$: "treure una figura" (sota, cavall o rei).

Calcula la probabilitat que la carta sigui un rei sabent que ha sortit una figura, és a dir, determina $P(A|B)$.

Dats dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori, es sap que la probabilitat de la seva intersecció és $P(A \cap B) = 0,12$ i que la probabilitat del succés $B$ és $P(B) = 0,4$. Calcula la probabilitat que passi $A$ sabent que ha passat $B$.

S'ha realitzat una enquesta a 100 estudiants de 1r de Batxillerat sobre la seva preferència entre dos àmbits d'estudi. Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Si triem un estudiant a l'atzar i resulta que és una noia, quina és la probabilitat que prefereixi Lletres? Calcula $P(L|M)$.

Una urna conté 5 boles blaves i 3 boles vermelles. Extraiem dues boles de manera consecutiva amb reemplaçament (tornem la primera bola a l'urna abans de treure la segona).

1. a) Representa l'experiment mitjançant un diagrama d'arbre, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Calcula la probabilitat que la segona bola sigui vermella sabent que la primera ha estat blava. Són esdeveniments dependents o independents? Justifica la teva resposta.

En una lliga d'E-sports, un equip té una probabilitat de guanyar el partit del $70\,\%$ si juga al seu servidor local ($L$), però aquesta probabilitat baixa al $40\,\%$ si juga en un servidor extern ($E$). Se sap que el $60\,\%$ dels partits els juga com a local.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Si l'equip ha guanyat l'últim partit, quina és la probabilitat que hagi jugat al seu servidor local?

1. c) Quina és la probabilitat total que l'equip guanyi un partit qualsevol?

Es llancen dos daus cúbics equilibrats amb les cares numerades del $1$ al $6$. Considerem els successos següents:

• $S$: "La suma dels punts obtinguts és igual a $7$".

• $A$: "En el primer dau ha sortit un nombre parell".

Calcula:

1. a) L'espai mostral de la suma dels punts i la probabilitat del succés $S$.
2. b) La probabilitat que la suma sigui $7$ sabent que en el primer dau ha sortit un nombre parell, $P(S/A)$.
3. c) Influeix el fet que el primer dau sigui parell en la probabilitat que la suma sigui $7$? Justifica si els successos són dependents o independents.

En un laboratori de ciberseguretat, un algorisme d'intel·ligència artificial analitza correus electrònics per detectar phishing. Se sap que:

• El $5\%$ dels correus que rep l'empresa són intents d'estafa (phishing).

• Si un correu és phishing, l'algorisme l'identifica correctament com a "sospitós" en el $98\%$ dels casos.

• Si un correu és legítim, l'algorisme s'equivoca i el marca com a "sospitós" en el $3\%$ de les ocasions (fals positiu).

Si un empleat rep una alerta de "correu sospitós" a la seva safata d'entrada:

1. a) Quina és la probabilitat real que el correu sigui efectivament un intent de phishing?
2. b) Si l'algorisme indica que el correu és "segur", quina és la probabilitat que es tracti d'un error i realment sigui phishing?

Es realitza un estudi sobre les activitats dels alumnes en un institut de Madrid. Les dades mostren que:

• El $80\%$ dels alumnes estudia un segon idioma ($I$).

• El $60\%$ dels alumnes participa en algun equip esportiu de l'institut ($D$).

• El $30\%$ dels que estudien un segon idioma no participen en cap equip esportiu.

Triem un alumne a l'atzar. Calcula:

1. a) La probabilitat que faci totes dues activitats.
2. b) Sabent que participa en un equip esportiu, la probabilitat que també estudiï un segon idioma.
3. c) La probabilitat que no faci cap de les dues activitats.