Taxa de variació mitjana i anàlisi marginal
En economia ningú no parla de «la derivada»: parla de cost marginal, ingrés marginal o benefici marginal. Són la mateixa idea amb un altre nom: quant canvia el cost, l'ingrés o el benefici d'una empresa si produeix una unitat més, just en el nivell de producció en què és ara. Aquest apartat generalitza la TVM a un interval qualsevol i la converteix en l'eina central de l'anàlisi econòmica.
TVM en un interval genèric $[a, a+h]$
Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2}$ en l'interval $[1, 3]$.
Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2}$ en l'interval $[1, 3]$.
Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2} - 2x$ en l'interval $[0, 2]$ i explica per què el resultat és $0$ encara que la funció no sigui constant en aquest…
Calcula la taxa de variació mitjana de $f(x) = x^{2} - 2x$ en l'interval $[0, 2]$ i explica per què el resultat és $0$ encara que la funció no sigui constant en aquest interval.
La derivada com a variació instantània de qualsevol magnitud
La derivada serveix per a qualsevol magnitud que canviï amb el temps o amb una altra variable: posició, temperatura, població, nombre d'usuaris, preu... En cada cas, $f'(a)$ és «quant canvia $f$ per cada unitat de $x$, just en $a$».
Calcula, aplicant la definició amb límits, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ a $x = 1$. Depèn el resultat del punt triat? Per què?
Calcula, aplicant la definició amb límits, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ a $x = 1$. Depèn el resultat del punt triat? Per què?
La posició d'un ciclista en una recta ve donada per $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metres, amb $t$ en segons i $0 \leq t \leq 4$. a) Calcula la seva velocitat mitjana…
La posició d'un ciclista en una recta ve donada per $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metres, amb $t$ en segons i $0 \leq t \leq 4$.
- a) Calcula la seva velocitat mitjana en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$. Què indica el signe de cadascuna?
- b) Calcula la velocitat instantània $v(t) = e'(t)$.
- c) En quins instants del trajecte la velocitat instantània és nul·la? Descriu què fa el ciclista en aquells moments.
Cost marginal: la derivada del cost total
Una empresa que fabrica motxilles té una funció de cost total $C(q) = 0,02q^{2} + 10q + 800$, en euros, on $q$ és el nombre de motxilles produïdes al mes. a) Calcula el…
Una empresa que fabrica motxilles té una funció de cost total $C(q) = 0,02q^{2} + 10q + 800$, en euros, on $q$ és el nombre de motxilles produïdes al mes.
- a) Calcula el cost real de produir la motxilla número $61$: $C(61) - C(60)$.
- b) Calcula el cost marginal $C'(60)$ com a aproximació del cost d'aquesta unitat addicional.
- c) Compara tots dos valors i explica per què els economistes fan servir la derivada com a «cost marginal».
Ingrés marginal i benefici marginal: el punt òptim
Un taller fabrica $q$ bicicletes al mes amb uns ingressos $I(q) = 50q - 0,1q^{2}$ i uns costos $C(q) = 20q + 1.000$, en milers d'euros. a) Calcula l'ingrés marginal…
Un taller fabrica $q$ bicicletes al mes amb uns ingressos $I(q) = 50q - 0,1q^{2}$ i uns costos $C(q) = 20q + 1.000$, en milers d'euros.
- a) Calcula l'ingrés marginal $I'(q)$ i avalua'l a $q = 100$. Què significa el seu valor?
- b) Calcula el benefici marginal $B'(q)$, on $B(q) = I(q) - C(q)$, i troba per a quin valor de $q$ s'anul·la.
- c) Explica, fent servir el signe del benefici marginal abans i després d'aquest valor, per què correspon al benefici màxim.
Variació absoluta i relativa
No sempre interessa la mateixa unitat: un inversor no només mira quant puja una acció en euros, sinó quin percentatge representa aquesta pujada.
La cotització d'una acció al tancament de cada dia d'una setmana ha estat: dilluns $10,40\ \text{ €}$; dimarts $10,12\ \text{ €}$; dimecres $10,35\ \text{ €}$; dijous…
La cotització d'una acció al tancament de cada dia d'una setmana ha estat: dilluns $10,40\ \text{ €}$; dimarts $10,12\ \text{ €}$; dimecres $10,35\ \text{ €}$; dijous $10,80\ \text{ €}$; divendres $10,55\ \text{ €}$.
- a) Calcula la variació diària (absoluta i percentual) de cada jornada, arrodonint a les centèsimes.
- b) Calcula la variació total de la setmana i la taxa de variació mitjana diària, en euros per dia.
- c) Un titular afirma: «l'acció ha pujat de mitjana un $0,4 \%$ diari». Comprova si és cert fent servir la variació percentual mitjana i comenta quina mesura —absoluta o percentual— informa millor l'inversor.
La població d'una espècie protegida en un parc nacional segueix el model $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, amb $t$ en anys. a) Calcula la taxa de variació mitjana de la…
La població d'una espècie protegida en un parc nacional segueix el model $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, amb $t$ en anys.
- a) Calcula la taxa de variació mitjana de la població en l'interval $[0, 5]$, en individus per any, arrodonida a les unitats.
- b) Calcula la taxa de variació mitjana relativa (percentual) anual en aquest interval, $\frac{P(5)-P(0)}{5 \cdot P(0)}$, i compara-la amb el $2 \%$. A què es deu la diferència?
- c) Demostra que en qualsevol model exponencial $P(t) = P_0 \cdot a^{t}$ la taxa de variació relativa anual és constant, mentre que l'absoluta creix amb el temps. Què implica això per a les previsions?