Aplicacions de la derivada

Una gelateria ha determinat que els seus beneficis mensuals (en centenars d'euros) depenen del nombre d'empleats contractats $x$ segons la funció $B(x) = -x^2 + 10x - 16$. Determina si el benefici està creixent o decreixent quan la gelateria compta amb 3 empleats.

Estudia els intervals de creixement i decreixement de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ analitzant el signe de la seva primera derivada.

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 2$ en què la recta tangent és horitzontal.

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, fes un estudi de la seva monotonia. Per a fer-ho, determina els intervals de creixement i decreixement, i troba les coordenades dels seus màxims i mínims relatius.

Estudia la curvatura (concavitat i convexitat) i troba els punts d'inflexió de la funció $f(x) = 3x^4 - 4x^3$. Dibuixa un esquema aproximat de la forma de la funció basant-te únicament en la seva segona derivada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol tancar un recinte rectangular destinat a la zona de jocs d'una urbanització. El recinte ha de tenir una superfície de $600 \text{ m}^2$. Un dels costats del rectangle limita amb un edifici i no necessita tanca. El preu de la tanca per als dos costats laterals és de $20 \text{ €/m}$, mentre que el costat paral·lel a l'edifici utilitza una tanca reforçada que costa $60 \text{ €/m}$.

Determina les dimensions del recinte que minimitzen el cost total de la tanca i calcula aquest cost mínim.

Una empresa de venda de fundes personalitzades per a mòbils ha determinat que els seus beneficis diaris, en euros, segueixen la funció $B(x) = -x^2 + 40x - 300$, on $x$ representa el nombre de fundes venudes.

1. a) Quantes fundes han de vendre perquè el benefici sigui màxim?

1. b) A quant ascendeix aquest benefici màxim?

1. c) Entre quines quantitats de fundes venudes l'empresa obté benefici positiu (és a dir, $B(x) > 0$)?