Domini, recorregut, simetria, periodicitat, interseccions i signe

Determina el domini de definició de les funcions analítiques següents:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Determina el domini de les funcions logarítmiques següents recordant que l'argument ha de ser estrictament més gran que zero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

Donada la funció $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcula:

1. El seu domini de definició.

2. Les interseccions amb els eixos $OX$ i $OY$.

3. Troba el valor de $x$ per al qual la imatge és $y = 1$.

4. Raona si el valor $y = 2$ pertany al recorregut de la funció.

Un dispositiu intel·ligent registra el nivell de bateria d'un telèfon mòbil al llarg d'un matí. La funció $B(t)$ representa el percentatge de càrrega en funció del temps $t$ (en hores) transcorregut des de les 8:00 h.

Observant la gràfica, indica:

1. El domini de la funció (interval de temps registrat).

2. El recorregut o imatge (valors mínim i màxim de bateria).

3. En quins moments la bateria es manté constant?

Una plataforma de streaming ofereix dos plans mensuals. El pla "Premium" costa 15 € fixos al mes i inclou 100 hores de contingut. A partir de l'hora 100, l'usuari ha de pagar 0,50 € per cada hora addicional.

1. Escriu l'expressió analítica de la funció definida a trossos que relaciona el cost mensual $C$ amb les hores de visualització $h$.

2. Representa gràficament la funció.

3. Determina el recorregut de la funció si el màxim d'hores que un usuari pot visualitzar al mes és de 300.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia la simetria (parell, senar o cap) de les funcions següents mitjançant el càlcul de $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Determina algebraicament si les funcions següents presenten algun tipus de simetria (parell, senar o cap):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Donada la gràfica següent que representa el ritme respiratori d'un esportista en repòs (volum d'aire en litres respecte del temps en segons), identifica raonadament si la funció és periòdica i, en cas afirmatiu, indica quin és el seu període.

L'altura d'una cabina en una sínia respecte del terra, en metres, ve donada per una funció periòdica. Observa l'esquema d'un cicle complet:

Si la sínia triga 8 minuts a fer una volta completa i l'altura mínima és de 2 metres i la màxima de 25 metres:

1. Indica quin és el període de la funció.

2. Determina el recorregut de la funció altura.

3. Si comencem a comptar el temps en el punt més baix, quina serà l'altura als 4 minuts? I als 12 minuts?

Troba els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades per a la funció quadràtica que representa el benefici d'una petita botiga de samarretes:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(On $x$ és el preu en euros i $B(x)$ el benefici en centenars d'euros).

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determina:

1. a) El valor de les interseccions amb l'eix $Y$ i amb l'eix $X$.

1. b) Els intervals on la funció és positiva.

Estudia el signe de la funció lineal $f(x) = 3x - 9$. Per a fer-ho:

1. Calcula el punt on la funció s'anul·la (punt de tall amb l'eix $X$).

2. Indica en quin interval de $x$ la funció és positiva ($f(x) > 0$) i en quin és negativa ($f(x) < 0$).

Donada la funció analítica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, realitza les tasques següents:

1. Determina el domini de definició de la funció, expressant el resultat en forma d'interval.

2. Calcula els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades.

3. Estudia el signe de la funció en el seu domini.

Estudia els punts de tall amb els eixos i el signe de la funció logarítmica:

Nota: Recorda que per estudiar el signe has de tenir en compte el domini de la funció.