Progressions geomètriques
L'interès compost multiplica el capital pel mateix factor cada any. Estalviar una quantitat fixa cada mes en un compte que també capitalitza genera una progressió geomètrica, una per a cada aportació. És el mateix patró de 3r d'ESO, ara amb diners pel mig.
Terme general i raó: l'interès compost
Un jove creador de contingut en una xarxa social observa que el nombre de reproduccions dels seus vídeos augmenta de manera constant. El primer dia va obtenir $200$…
Un jove creador de contingut en una xarxa social observa que el nombre de reproduccions dels seus vídeos augmenta de manera constant. El primer dia va obtenir $200$ visualitzacions, el segon $600$, el tercer $1800$, i així successivament seguint una progressió geomètrica.
- a) Determina la raó $r$ de la progressió.
- b) Calcula quantes visualitzacions rebrà el sisè dia si es manté aquesta tendència.
Per comprar-se una bicicleta elèctrica, una estudiant decideix fer el «repte de l'estalvi setmanal»: guarda diners cada setmana de manera que cada lliurament sigui el…
Per comprar-se una bicicleta elèctrica, una estudiant decideix fer el «repte de l'estalvi setmanal»: guarda diners cada setmana de manera que cada lliurament sigui el doble de l'anterior. La primera setmana guarda $2$ €, la segona $4$ €, la tercera $8$ €, i així successivament.
- a) Escriu el terme general $a_n$ d'aquesta progressió.
- b) Utilitza la fórmula de la suma d'una progressió geomètrica per esbrinar quants diners haurà acumulat en total al cap de $8$ setmanes.
La suma d'una progressió geomètrica: anualitats d'estalvi
Si ingresses una quantitat fixa $a$ al principi de cada període en un compte amb interès $i$, cada aportació capitalitza un nombre diferent de períodes: l'última capitalitza una vegada, la primera capitalitza $n$ vegades. El total és la suma d'una progressió geomètrica.
Una jove emprenedora decideix obrir un compte d'estalvi per finançar el seu projecte d'una marca de roba sostenible d'aquí a 5 anys. Per a això, es compromet a ingressar…
Una jove emprenedora decideix obrir un compte d'estalvi per finançar el seu projecte d'una marca de roba sostenible d'aquí a 5 anys. Per a això, es compromet a ingressar $150$ € al principi de cada mes. L'entitat bancària li ofereix un interès nominal anual del $4,5\%$, amb capitalització mensual dels interessos.
Calcula el capital total que haurà acumulat quan finalitzin els 5 anys. Per resoldre-ho, has d'obtenir primer la taxa d'interès mensual equivalent i aplicar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió geomètrica (anualitat de capitalització).
Trobar el nombre de períodes amb logaritmes
Quan la incògnita és l'exponent $n$, la isoles prenent logaritmes als dos costats.
Un petit emprenedor sol·licita un préstec de $15000 €$ per adquirir maquinària. El banc li concedeix el préstec a un interès del $5,5 \%$ anual, que ha de retornar en…
Un petit emprenedor sol·licita un préstec de $15000 €$ per adquirir maquinària. El banc li concedeix el préstec a un interès del $5,5 \%$ anual, que ha de retornar en quotes mensuals iguals durant 4 anys.
- a) Calcula l'import de la mensualitat que haurà d'abonar.
- b) A quant ascendiran els interessos totals pagats en finalitzar el préstec?
Problemes amb progressions geomètriques financeres
Depreciacions de vehicles, plans d'estalvi, comparació de productes bancaris: identifica sempre $a_1$, $r=1+i$ i si et pregunten per un terme, per una suma o pel nombre de períodes.
Una jove decideix invertir els seus estalvis de $2500 €$ en un producte financer que ofereix un interès compost del $3,2 \%$ anual. a) Quin serà el capital final si els…
Una jove decideix invertir els seus estalvis de $2500 €$ en un producte financer que ofereix un interès compost del $3,2 \%$ anual.
- a) Quin serà el capital final si els interessos es capitalitzen anualment durant 6 anys?
- b) Quina seria la diferència si la capitalització fos mensual en lloc d'anual per a aquest mateix període de temps?
Un avi obre un compte d'estalvis per al seu nét acabat de néixer amb un capital inicial de $2000$ €. L'entitat bancària ofereix un interès simple anual del $2,5 \%$. a)…
Un avi obre un compte d'estalvis per al seu nét acabat de néixer amb un capital inicial de $2000$ €. L'entitat bancària ofereix un interès simple anual del $2,5 \%$.
- a) Calcula els interessos que generarà el compte al cap de $10$ anys.
- b) A quant ascendirà el capital total acumulat després d'aquest període?