El mètode de Gauss

En el mètode de Gauss, l'objectiu és transformar un sistema d'equacions en un d'escalonat (triangular) perquè sigui molt més senzill de resoldre. Observa el sistema següent, que ja es troba en forma escalonada, i troba el valor de les incògnites $x$, $y$ i $z$ mitjançant el procés de substitució regressiva (de baix cap a dalt):

$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2y - z = 5 \\ 3z = 9 \end{cases}$

En acabar el procés de Gauss, un estudiant arriba a la matriu de coeficients següent (on l'última columna és el terme independent):

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

1. a) Escriu el sistema d'equacions associat a aquesta matriu.
2. b) Basant-te en l'última fila, indica si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible. Raona la teva resposta.

A vegades, per aplicar el mètode de Gauss de manera més eficient, és útil intercanviar les files del sistema. Atès el sistema següent:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \\ 2y - 3z = -4 \end{cases}$

1. a) Explica per què seria convenient intercanviar la primera equació ($E_1$) per la segona ($E_2$) abans de començar a operar.
2. b) Escriu el sistema resultant després de l'intercanvi i fes el primer pas de Gauss per eliminar la $x$ de la nova segona equació.

Resol el sistema següent d'equacions lineals utilitzant el mètode de Gauss. Per facilitar-te la feina, fixa't que la variable $x$ ja ha estat eliminada de la segona equació:

$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ y + 2z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Resol el sistema d'equacions següent aplicant el mètode de Gauss pas a pas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Suggeriment: Resta la primera equació a la segona i a la tercera per eliminar les $x$ d'un sol pas.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode d'eliminació de Gauss. Recorda organitzar els passos per obtenir una estructura triangular abans de calcular el valor de les incògnites:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$

Determina si el sistema següent té solució o no, aplicant el mètode de Gauss fins a obtenir l'última fila:

$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ 3x - y + z = 2 \end{cases}$

Justifica la teva resposta analitzant la relació entre la primera i la segona equació.

Analitza i resol el sistema següent. Si el sistema resulta ser compatible indeterminat, expressa la solució general utilitzant un paràmetre $\lambda$ (o $t$):

$$\begin{cases} x - 3y + 2z = 4 \\ 2x + y - 3z = 1 \\ 5x - 8y + 3z = 13 \end{cases}$$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el sistema d'equacions següent sigui incompatible (és a dir, que no tingui solució):

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + kz = 10 \end{cases}$$

En una petita empresa de tecnologia es gestionen tres projectes d'intel·ligència artificial: Alpha, Beta i Gamma. El pressupost total assignat per als tres és de $450.000$ €. Se sap que el cost del projecte Gamma és igual a la suma del cost d'Alpha més el doble de Beta. A més, si al triple del cost d'Alpha li restem el cost de Gamma, obtenim exactament el cost de Beta augmentat en $30.000$ €.

Planteja un sistema d'equacions lineals i utilitza el mètode de Gauss per determinar la inversió exacta que requereix cadascun dels projectes.

Una jove inversora decideix diversificar els seus estalvis de $12.000$ € en tres productes financers diferents: un compte d'estalvis que rendeix el $2\%$, un fons d'inversió que rendeix el $5\%$ i accions tecnològiques amb un rendiment del $8\%$.

Se sap que:

• La suma total dels interessos anuals obtinguts és de $600$ €.

• La quantitat invertida en accions tecnològiques és la meitat de la suma de les altres dues inversions.

Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i resol-lo mitjançant Gauss per trobar quants diners va invertir en cada producte.

Un taller d'artesans fabrica tres tipus de llàmpades: model Alfa, model Beta i model Gamma.

• Per fabricar una llàmpada Alfa es necessiten 20 minuts de muntatge, 10 de pintura i 10 d'embalatge.

• Per a una Beta, 10 minuts de muntatge, 20 de pintura i 10 d'embalatge.

• Per a una Gamma, 10 minuts de muntatge, 10 de pintura i 20 d'embalatge.

Si el taller ha dedicat avui un total de $100$ hores al muntatge, $100$ hores a la pintura i $100$ hores a l'embalatge, quantes llàmpades de cada tipus han fabricat?

Nota: Recorda passar totes les unitats de temps a la mateixa mesura (minuts o hores) abans de plantejar el sistema.