Asímptotes i branques infinites en funcions racionals

Calcula els límits següents analitzant el terme de grau més alt de cada polinomi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Calcula els límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$ de les funcions racionals següents comparant els graus del numerador i del denominador:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Donada la gràfica següent de la funció $f(x)$, determina el valor dels límits a l'infinit i indica l'equació de la seva asímptota horitzontal:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Troba l'equació de l'asímptota horitzontal de les funcions següents. Si no en té, indica-ho raonadament:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

El nombre d'usuaris d'una xarxa social educativa, mesurat en milers, segueix l'evolució temporal $t$ (en mesos) segons la funció:

1. Calcula el nombre d'usuaris inicials (a $t=0$).

2. Determina a quant tendirà el nombre d'usuaris a llarg termini (quan $t \to +\infty$).

3. Existeix algun valor de $t$ per al qual la funció no sigui contínua? Raona si aquest valor té sentit en el context del problema.

Per a la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la taula de valors següent per investigar el seu comportament quan $x$ s'acosta a $0$.

A partir de la taula, dedueix el valor dels límits laterals $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Existeix el límit global a $x=0$?

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica quin és el seu domini de definició.
2. b) Calcula els límits laterals en el punt on la funció no està definida: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) Quin tipus de branca infinita presenta la funció a $x = 4$?

Considera la funció $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Si sabem que la funció passa pel punt $(0, -1)$, troba el valor de $k$.

2. Amb el valor de $k$ obtingut, realitza un estudi complet de les asímptotes de la funció i situa les seves branques infinites respecte de les seves asímptotes verticals.

Estudia el comportament a l'infinit de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculant:

1. a) L'existència d'una asímptota obliqua de la forma $y = mx + n$.

1. b) La posició relativa de la corba respecte a aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ (indica si la funció va per sobre o per sota de la recta).

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la funció té una asímptota obliqua l'equació de la qual és $y = 2x + 5$. Una vegada trobats els paràmetres, estudia si la gràfica de la funció es troba per sobre o per sota d'aquesta asímptota quan $x \to +\infty$.

Associa cadascuna de les funcions següents amb el seu comportament a $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportaments:

1. a) Tendeix a $+\infty$ (Branca parabòlica).
2. b) Té una asímptota horitzontal a $y = 0$.
3. c) Té una asímptota horitzontal a $y = 5$.

Calcula totes les asímptotes de la funció següent definida a trossos i estudia el comportament de les seves branques infinites:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica específicament els límits laterals en els punts on existeixin asímptotes verticals.