Regles de derivació

Aplica la regla del producte per trobar la derivada de les funcions següents (no multipliquis els parèntesis abans de derivar):

1. a) $f(x) = (x^2 + 3) \cdot (5x - 1)$

1. b) $g(x) = (x + 2) \cdot (x^3 - 4x)$

Calcula la derivada d'aquestes funcions racionals utilitzant la regla del quocient:

1. a) $f(x) = \frac{3x - 5}{x + 2}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2}{2x + 1}$

1. c) $h(x) = \frac{10}{x^2 + 4}$

Un estudi sociològic indica que el nombre d'usuaris d'una nova xarxa social (en milions) ve donat per la funció $U(t) = \frac{40t}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Aplica la regla del quocient per trobar la funció derivada $U'(t)$ i determina en quin mes el creixement d'usuaris s'atura per començar a decreixer. Quina és la velocitat de pèrdua d'usuaris al cap d'un any ($t=12$)?

Aplica la regla de la cadena per calcular la funció derivada d'aquestes funcions compostes:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = (1 - x)^5$

Calcula l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ en el punt on aquesta corba talla la recta $y = 3$ (considera només la solució al primer quadrant). Una vegada trobada la recta, determina l'àrea del triangle que forma aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

El nombre de visualitzacions d'un vídeo viral (en milers) ve donat per la funció $V(t) = 2 \cdot e^{0,5t}$, on $t$ és el temps en dies. Sabent que la derivada de $e^{u}$ és $u' \cdot e^u$, calcula la velocitat de creixement de les visualitzacions el segon dia ($t = 2$).

Calcula la derivada de la funció següent que conté una arrel quadrada, simplificant el resultat final:

$f(x) = \sqrt{x^2 + e^x}$

Utilitza la regla de la cadena per a funcions del tipus $\sqrt{u}$.

Obtén la funció derivada de la funció següent utilitzant la regla del producte i la derivada de la funció exponencial:

$f(x) = (x^2 + 3x - 1) \cdot e^{2x}$

Factoritza l'expressió de $f'(x)$ treient factor comú el terme exponencial.