Inequacions de primer i segon grau
Quan un enunciat diu «com a mínim», «no ha de superar» o «a partir de quants», la traducció matemàtica no és una equació sinó una inequació: una desigualtat que pot tenir infinites solucions, un interval sencer de la recta real. Aquest apartat cobreix les de primer grau (on mana el signe en multiplicar o dividir) i les de segon grau (on s'estudia el signe per trams).
Inequacions de primer grau
Resol la inequació de primer grau següent i representa la solució a la recta real utilitzant un interval: $5 - 2x \le 11$ Dibuixa al teu quadern una recta real amb una…
Resol la inequació de primer grau següent i representa la solució a la recta real utilitzant un interval:
$5 - 2x \le 11$
Dibuixa al teu quadern una recta real amb una escala adequada, marca l'extrem de l'interval i assenyala si queda inclòs o no. Escriu després la solució amb notació d'interval.
Comprova si els valors $x = 0$, $x = 2$ i $x = 5$ són solucions de la inequació quadràtica: $x^2 - 5x + 4 \le 0$
Comprova si els valors $x = 0$, $x = 2$ i $x = 5$ són solucions de la inequació quadràtica:
$x^2 - 5x + 4 \le 0$
Inequacions de segon grau: arrels i taula de signes
Un grup d'amics vol organitzar una festa de graduació. El lloguer del local costa $150$ € fixos, i el càtering costa $12$ € per cada assistent. Si disposen d'un…
Un grup d'amics vol organitzar una festa de graduació. El lloguer del local costa $150$ € fixos, i el càtering costa $12$ € per cada assistent. Si disposen d'un pressupost màxim de $600$ €, planteja una inequació i calcula quin és el nombre màxim de persones que poden assistir a la festa.
Una empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha determinat que els seus beneficis mensuals, en centenars d'euros, depenen del nombre d'unitats produïdes $x$ (en…
Una empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha determinat que els seus beneficis mensuals, en centenars d'euros, depenen del nombre d'unitats produïdes $x$ (en milers) segons la funció $B(x) = -2x^2 + 14x - 12$.
Entre quins valors de producció l'empresa obté beneficis (és a dir, $B(x) > 0$)? Resol la inequació i expressa la solució com un interval, en milers d'unitats.
Casos especials: discriminant negatiu i arrel doble
Si el discriminant és negatiu, la paràbola no talla l'eix X: és sempre positiva o sempre negativa, segons el signe d'$a$. Si el discriminant és zero, hi ha una arrel doble i el signe és el mateix a banda i banda.
Determina el conjunt de solucions de la inequació de segon grau següent analitzant el signe dels factors: $x^2 - 9 > 0$ Expressa el resultat en forma d'intervals.
Determina el conjunt de solucions de la inequació de segon grau següent analitzant el signe dels factors:
$x^2 - 9 > 0$
Expressa el resultat en forma d'intervals.
Troba la solució del sistema d'inequacions lineals següent amb una incògnita i expressa-la en forma d'interval: $\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$…
Troba la solució del sistema d'inequacions lineals següent amb una incògnita i expressa-la en forma d'interval:
$\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$
Pots ajudar-te d'aquesta recta numèrica per representar les solucions de cada inequació i la seva intersecció:
Sistemes d'inequacions amb una incògnita
Un sistema d'inequacions es resol igual que un d'equacions: cada inequació per separat, i al final la intersecció de les solucions. Barrejar una lineal i una quadràtica no canvia el mètode, només exigeix anar amb compte amb el signe en cada tram.
Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat està organitzant una graduació. Han calculat que les despeses fixes de lloguer del local i el DJ són de $450$ €. A més, el…
Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat està organitzant una graduació. Han calculat que les despeses fixes de lloguer del local i el DJ són de $450$ €. A més, el càtering per cada assistent costa $12$ €. Si han recaptat un total de $1500$ € mitjançant la venda de butlletes i patrocinis, i volen que en acabar l'esdeveniment els sobrin almenys $210$ € per a un viatge de final de curs, redacta i resol una inequació que determini el nombre màxim de persones, $x$, que poden convidar.
En el gràfic pots veure els diners recaptats i les despeses en funció del nombre d'assistents.
Una empresa de serveis de consultoria estima que els seus beneficis mensuals, expressats en milers d'euros, vénen donats per l'expressió racional…
Una empresa de serveis de consultoria estima que els seus beneficis mensuals, expressats en milers d'euros, vénen donats per l'expressió racional $B(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 5}$, on $x$ representa el nombre de projectes gestionats simultàniament. Per raons operatives, l'empresa només pot gestionar entre 0 i 10 projectes. Determina l'interval de projectes per als quals l'empresa obté beneficis positius però meors o iguals a 4 mil euros, és a dir, resol el sistema:
$0 < \frac{x^2 - 9}{x - 5} \leq 4$
Problemes reals
Troba el conjunt de solucions del següent sistema d'inequacions: $$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \leq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases}$$
Troba el conjunt de solucions del següent sistema d'inequacions:
$$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \leq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases}$$Un fabricant de components electrònics ha detectat que el cost unitari de producció $C$ depèn de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) segons l'expressió…
Un fabricant de components electrònics ha detectat que el cost unitari de producció $C$ depèn de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) segons l'expressió $C(T) = |T^2 - 40T + 375|$. Perquè el producte sigui competitiu al mercat, el cost unitari no ha de superar els 25 euros.
A la figura tens la gràfica de $C(T)$ i la recta $C = 25$.
Resol la inequació $|T^2 - 40T + 375| \leq 25$ i determina els rangs de temperatura permesos per a la fabricació.