Funcions exponencial i logarítmica

Sense representar-les, indica quines d'aquestes funcions exponencials són creixents i quines decreixents, justificant la resposta a partir de la base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

Siguin $f(x) = 3^{x}$ i $g(x) = \log_{2} x$. Calcula, sense calculadora:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ i $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ i $g\left(\frac{1}{2}\right)$

Considera la funció exponencial $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia i completa la taula de valors de la funció per a $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) Quins són el domini i el recorregut de la funció? És creixent o decreixent?

1. c) Quina recta és la seva asímptota? La toca la gràfica en algun punt? Raona la resposta.

Associa cada fenomen amb el tipus de model exponencial que el descriu millor, creixent (base més gran que $1$) o decreixent (base entre $0$ i $1$), i justifica la tria:

• El refredament d'una tassa de cafè fins a assolir la temperatura ambient.

• El capital d'un compte d'estalvi amb interès compost.

• La radioactivitat restant d'una font mèdica amb el pas dels anys.

• El nombre de persones assolides per una cadena solidària en la qual cada persona avisa tres amics.

A la figura apareixen les gràfiques de $f(x) = 3^{x}$ i $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) En quin punt es tallen ambdues? Justifica que tota exponencial de la forma $h(x) = a^{x}$ passa per aquest mateix punt.

1. b) Respecte de quin eix són simètriques les dues gràfiques? Comprova-ho calculant $f(2)$ i $g(-2)$.

1. c) Sense representar-la, descriu la gràfica de $k(x) = 0,7^{x}$: creixement, asímptota i posició respecte a les dues anteriors.

En representar juntes les funcions $f(x) = 2^{x}$ i $g(x) = 2^{-x}$, una alumna afirma: «són simètriques respecte de l'eix $X$, perquè una és l'exponencial i l'altra la seva oposada». Valora raonadament l'afirmació: indica si és vertadera o falsa, fes un esquema de totes dues gràfiques, explica respecte de quin eix són realment simètriques i confirma-ho comparant $f(2)$ amb $g(-2)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tota funció exponencial $f(x) = a^{x}$ (amb $a > 0$ i $a \neq 1$) passa per un mateix punt, i tota funció logarítmica $g(x) = \log_{a} x$ passa per un altre. Quins són aquests punts? Demostra'ls calculant $f(0)$ i $g(1)$ per a una base qualsevol.

Indica l'equació de l'asímptota de cada funció i digues de quin tipus és (horitzontal o vertical):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

La figura mostra la gràfica de la funció logarítmica $f(x) = \log_{2} x$. Cada quadradet de la quadrícula mesura 1 unitat en tots dos eixos.

1. a) Indica el seu domini i el seu recorregut.

1. b) Quina és la seva asímptota i de quin tipus és?

1. c) Calcula $f(16)$ i $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partir de la definició de logaritme i comprova que encaixen amb la gràfica.

1. d) Té sentit calcular $f(-2)$? Per què?

Calcula el domini de les funcions següents:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

La figura mostra la gràfica de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) Quin és el domini de $f$? Relaciona'l amb la zona ombrejada i amb l'asímptota de la gràfica.

1. b) Quin és el seu recorregut?

1. c) Determina, sense representar-les, el domini d'aquestes funcions: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina el domini de definició de les funcions següents:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

El carboni-14 es desintegra de manera que la quantitat que queda en una mostra segueix el model $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5.730}$, on $t$ és el temps en anys i $N_0$ la quantitat inicial. Un equip d'arqueologia analitza un fragment d'os trobat en una cova.

1. a) Quin percentatge de carboni-14 quedarà al cap de $2.000$ anys? Arrodoneix a les dècimes.

1. b) Si el fragment conserva el $38 \%$ del carboni-14 original, planteja l'equació que permet trobar la seva antiguitat i resol-la fent servir logaritmes.

1. c) Un titular de premsa afirma: «passats $11.460$ anys ja no queda carboni-14, perquè s'han complit dos períodes de semidesintegració». Explica per què és fals i calcula el percentatge real que queda en aquest instant.

La població d'una ciutat costanera evoluciona segons el model $P(t) = 180.000 \cdot 1,015^{t}$, on $t$ són els anys transcorreguts des de 2025.

1. a) Quina població s'espera el 2035? Arrodoneix a les centenes.

1. b) En quin any superarà la ciutat els $250.000$ habitants? Planteja la inequació i resol-la amb logaritmes.

1. c) Explica quina hipòtesi sobre el creixement amaga aquest model i raona per què podria deixar de ser realista a molt llarg termini.

La concentració d'un medicament en sang, en mg/l, evoluciona segons el model $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, on $t$ són les hores transcorregudes des de la seva administració.

1. a) Quina concentració hi havia en el moment de la injecció? I a les $6$ hores? Arrodoneix a les dècimes.

1. b) El fàrmac deixa de ser eficaç quan la concentració baixa de $30$ mg/l. Planteja la inequació corresponent i calcula, amb logaritmes, quantes hores dura l'efecte.

1. c) Si un pacient rep una segona dosi idèntica $12$ hores després de la primera, quina concentració total tindrà en sang just després de la nova injecció, suposant que les concentracions es sumen?

El valor d'un cotxe elèctric nou de $32.000\ \text{ €}$ segueix el model exponencial $V(t) = 32.000 \cdot 0,85^{t}$, amb $t$ en anys.

1. a) Quant valdrà als $4$ anys? Arrodoneix als euros.

1. b) Un concessionari ofereix recomprar-lo quan el seu valor baixi de $12.000\ \text{ €}$. Quant de temps passarà fins aleshores? Utilitza logaritmes.

1. c) Un altre venedor utilitza un model lineal segons el qual el cotxe perd $4.500\ \text{ €}$ de valor cada any. Compara el valor que assigna cada model als $4$ anys i explica quin dels dos beneficia el propietari que el vulgui vendre a mitjà termini.