Successos

En l'estudi dels fenòmens quotidians, és fonamental distingir entre la certesa i l'atzar. Classifica els experiments següents com a aleatoris o deterministes:

1. a) Llançar un penal en un entrenament i observar si la pilota entra a la porteria.
2. b) Mesurar el temps que triga un objecte a caure des d'una alçària de 5 metres en el buit.
3. c) Observar el nombre de missatges de WhatsApp que reps entre les 17:00 i les 18:00 d'un dilluns qualsevol.
4. d) Calcular el cost total de la compra de 3 quilos de taronges si el preu per quilo és de $1,25 \text{ €}$.
5. e) Extreure una carta d'una baralla espanyola i observar si és de bastos.

Disposem d'una ruleta de la fortuna dividida en 8 sectors iguals, numerats de l'1 al 8. Es fa girar la ruleta i s'anota el número indicat per la fletxa.

Basant-te en aquest experiment:

1. a) Escriu l'espai mostral $E$.
2. b) Indica els elements que formen el succés $A = \text{"obtenir un nombre més gran que 5"}$.
3. c) Indica els elements que formen el succés $B = \text{"obtenir un nombre parell"}$.
4. d) Descriu amb paraules el succés complementari $\bar{A}$.

Un grup d'amics analitza les seves aficions. Sigui $D$ el succés «practicar esport» i $M$ el succés «tocar un instrument musical». Expressa simbòlicament mitjançant operacions de successos les situacions següents:

1. a) L'amic practica esport o toca un instrument (o totes dues coses).
2. b) L'amic practica esport i a més toca un instrument.
3. c) L'amic practica esport però no toca cap instrument.
4. d) L'amic no practica esport ni toca cap instrument.

En una bossa hi ha 10 boles numerades de l'1 al 10. Considerem els successos següents:

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

Troba els elements dels successos resultants següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (succés contrari de $A$)
4. d) $A - B$ (successos que estan en $A$ però no en $B$)

Donats dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori, sabem que la probabilitat que no s'esdevingui cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$. Si a més es coneix que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,5$, determina:

1. a) Són $A$ i $B$ successos incompatibles? Justifica la teva resposta.
2. b) Són $A$ i $B$ successos independents?
3. c) Calcula $P(A \cap \bar{B})$.

En una enquesta feta als alumnes de 1r de Batxillerat sobre les seves subscripcions a plataformes de streaming, s'ha obtingut que el $60\%$ està subscrit a Netflix ($N$), el $45\%$ a HBO Max ($H$) i el $20\%$ no està subscrit a cap de les dues. Si triem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que estigui subscrit a totes dues plataformes.

1. b) La probabilitat que estigui subscrit a Netflix però no a HBO Max ($P(N - H)$).

1. c) Representa la situació mitjançant un diagrama de Venn (dibuixa l'espai mostral $E$ i els conjunts $N$ i $H$) indicant les probabilitats de cada regió.

Observa el diagrama de Venn següent que representa les probabilitats dels successos $A$ (estudiar francès) i $B$ (estudiar alemany) en un centre d'idiomes.

A partir de les dades del gràfic, calcula:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A} | B)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilitzant les lleis de De Morgan.