Estadística descriptiva unidimensional

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials en un institut, s'han identificat les variables següents. Classifica cadascuna com a qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa contínua:

1. a) Xarxa social preferida (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Nombre de seguidors al compte principal.
3. c) Temps diari (en minuts) d'ús del telèfon mòbil.
4. d) Marca del dispositiu mòbil (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Qualificació numèrica obtinguda a l'últim examen de Matemàtiques.

Un ajuntament vol conèixer l'opinió dels adolescents sobre les noves pistes de skate de la ciutat. Per a això, selecciona a l'atzar $200$ joves d'entre $14$ i $18$ anys que van als centres juvenils dels diferents barris.

Indica quina és la població objecte d'estudi i quina és la mostra triada. Creus que la mostra és representativa si només es pregunta als centres juvenils?

S'ha preguntat a un grup de $20$ estudiants de 1r de Batxillerat quants llibres han llegit per plaer durant l'últim any. Les dades obtingudes són les següents:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$), la freqüència relativa ($f_i$) i la freqüència absoluta acumulada ($N_i$).

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de germans que tenen els alumnes d'una classe. La taula de freqüències absolutes acumulades ($N_i$) és la següent:

Respon a les preguntes següents raonant la teva resposta:

1. a) Quants alumnes són fills únics?
2. b) Quants alumnes tenen exactament $2$ germans?
3. c) Quin és el nombre total d'alumnes a la classe?

Una cadena de botigues vol presumir de vendes i elabora dos gràfics amb les mateixes dades trimestrals: al panell A l'eix vertical comença a $0$ i al panell B està truncat.

1. a) Calcula la variació percentual real de les vendes entre el primer i el tercer trimestre.

1. b) Quin efecte visual produeix l'eix truncat del panell B? En què es diferencia de la impressió que dona el panell A?

1. c) Quin dels dos gràfics usaries en un informe honest per als accionistes? I quina versió podria usar un competidor per alarmar el mercat? Justifica totes dues respostes.

Les notes obtingudes per $7$ amics en un treball d'Economia són:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcula la mitjana aritmètica ($\bar{x}$) i la mediana ($Me$) de les qualificacions.

Una empresa de telefonia ha mesurat la durada (en minuts) de 50 trucades realitzades durant el matí. Com que és una variable contínua, s'han agrupat les dades en els intervals següents:

1. a) Calcula la marca de classe de cada interval.
2. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica de la durada de les trucades.
3. c) Quin percentatge de trucades duren 10 minuts o més?

S'ha realitzat un estudi sobre la despesa setmanal en oci dels estudiants d'un institut. Les dades es presenten agrupades en intervals de la mateixa amplitud en la taula següent, però falten les freqüències absolutes de dos intervals mitjans ($n_2$ i $n_3$):

Sabent que la mida de la mostra és $N = 60$ i que la mitjana aritmètica de la despesa és $\bar{x} = 44$ €, calcula els valors de $n_2$ i $n_3$. Una vegada completada la taula, determina el valor exacte de la mediana mitjançant interpolació lineal.

A partir del diagrama de caixa (box-plot) següent, que representa el temps de reacció (en mil·lisegons) d'un grup de persones davant d'un estímul visual:

1. a) Identifica els valors corresponents al mínim, màxim, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) i $Q_3$, sabent que l'escala és lineal i els extrems de la caixa estan a $210$ i $290$.
2. b) Calcula el rang interquartílic i interpreta'l.
3. c) Es pot afirmar que el $50\%$ de la població té un temps de reacció superior a la mediana? Justifica la resposta.

La figura mostra el diagrama de caixa i bigotis dels temps de reacció d'un grup de pilots de simulador.

1. a) Llegeix al gràfic el mínim, el màxim, els quartils i la mediana, i calcula el rang i el rang interquartílic.

1. b) Entre quins dos valors es concentra el $50 \%$ central de les dades? Quin percentatge de dades hi ha per sota de $Q_1$?

1. c) Atesa la posició de la mediana dins de la caixa i la longitud dels bigotis, la distribució sembla simètrica o asimètrica? Cap a on?

En una empresa petita, el sou mitjà dels 10 empleats és de $1450$ € mensuals amb una desviació típica de $120$ €. A causa dels bons resultats de l'any, la direcció decideix aplicar un augment lineal a tots els treballadors consistent en una part fixa de $50$ € i una part variable del $3\%$ sobre el sou base actual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcula quin serà el nou sou mitjà de la plantilla.
2. b) Calcula la nova desviació típica.
3. c) Ha variat el coeficient de variació? Justifica matemàticament com afecten aquestes transformacions a la dispersió relativa.

Es vol comparar l'homogeneïtat dels preus dels menús diaris en dues zones distintes d'una ciutat. Les dades obtingudes (en euros) són:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcula la mitjana i la desviació típica dels preus a cada zona.
2. b) En quina zona els preus estan més dispersos en termes absoluts (desviació típica)?
3. c) En quina zona són els preus més heterogenis en termes relatius? Utilitza el coeficient de variació per comparar totes dues distribucions.

Un nutricionista analitza el contingut de sucre (en grams per cada 100 ml) de dues marques de refrescos "zero", A i B. Els resultats es resumeixen en els diagrames de caixa (box-plot) següents. Llegeix els valors sobre l'escala de l'eix horitzontal.

Observant els gràfics:

1. a) Quina de les dues marques presenta una distribució més dispersa en el $50\%$ central de les seves dades? Justifica la teva resposta calculant el rang interquartílic de cada marca a partir de l'escala del gràfic.

1. b) Si la marca A presenta una mitjana de $0,5$ g i la marca B una mitjana de $0,8$ g, i totes dues tenen desviacions típiques idèntiques, quina de les dues és més "fiable" o constant en la seva producció? Utilitza el paràmetre estadístic adequat per comparar ambdues marques.

En una prestigiosa acadèmia d'e-sports, l'equip d'analistes estudia el temps de reacció (en mil·lisegons) de 50 jugadors professionals. En revisar l'informe final, s'adonen que una taca de cafè ha esborrat part dels registres de la taula de freqüències. Només es conserven les dades següents: la mitjana aritmètica de la distribució és $\bar{x} = 182$ ms, la desviació típica és $\sigma = 12$ ms i es sap que el temps de reacció segueix una distribució aproximadament simètrica. Si es decideix afegir un nou jugador el temps de reacció del qual és de $160$ ms, raona matemàticament com variarà el coeficient de variació de la mostra original i determina el valor exacte de la nova variància després de la incorporació d'aquesta dada.

Es disposa d'una sèrie de 10 dades numèriques la mitjana de les quals és $\bar{x} = 15$ i la variància de les quals és $s^2 = 20$. Per un error de transcripció, una de les dades que era un $12$ es va anotar com un $22$.

1. a) Calcula la mitjana real del conjunt de dades després de corregir l'error.
2. b) Calcula el valor exacte de la variància real del conjunt. (Pista: Utilitza la relació entre la variància i la suma dels quadrats de les dades, $\sum x_i^2$).

Els temps d'espera (en minuts) de $15$ pacients en un centre de salut han sigut: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcula la mediana i els quartils primer i tercer.

1. b) Dibuixa el diagrama de caixa i bigotis corresponent, indicant els valors usats.

1. c) Aplica la regla de $1,5$ vegades el rang interquartílic per decidir si hi ha dades atípiques, i interpreta què pot representar aquesta dada en la realitat del centre de salut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.