Recta de regressió

Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat ha realitzat un estudi sobre la relació entre el temps diari (en hores) que passen utilitzant una coneguda xarxa social de vídeos curts ($X$) i el percentatge de bateria que els queda al mòbil al final del dia ($Y$). Les dades obtingudes de 6 companys són les següents:

a) Calcula el centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Troba la covariància $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal $r$. Interpreta el resultat obtingut pel que fa al signe i la força de la relació.

c) Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

d) Si un alumne utilitza la xarxa social durant 2,5 hores, quin percentatge de bateria s'estima que li quedarà? És fiable aquesta predicció? Justifica la teva resposta basant-te en el coeficient de determinació $r^2$.

Un estudi sobre hàbits d'estudi a 1r de Batxillerat analitza la relació entre el nombre d'hores setmanals dedicades a la lectura, $X$, i la nota obtinguda en l'examen de Llengua, $Y$. La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifica si la correlació entre totes dues variables és positiva o negativa.
2. b) Si un alumne dedica $8$ hores setmanals a la lectura, quina nota s'estima que obtindrà en l'examen?

Les notes de 50 alumnes en Economia ($X$) i Geografia ($Y$) tenen una mitjana de 6,5 en totes dues assignatures. La variància d'Economia és 4 i la de Geografia és 2,25. Se sap que el coeficient de correlació és $r = 0,8$.

1. a) Si un alumne ha obtingut un 4 en Economia, estima la seva nota en Geografia.

1. b) Si un altre alumne ha obtingut un 9 en Geografia, estima la seva nota en Economia utilitzant la recta de regressió pertinent.

1. c) Compara les dues estimacions i explica per què no es pot utilitzar la mateixa recta per a tots dos casos si volem minimitzar l'error quadràtic mitjà.

En un estudi sobre hàbits de son i rendiment acadèmic, es van obtenir les rectes de regressió següents per a les variables $X$ (hores de son diàries) i $Y$ (nota mitjana en el trimestre):

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabent que totes dues rectes es tallen en el centre de gravetat de la distribució, calcula la mitjana d'hores de son ($\bar{x}$) i la nota mitjana dels alumnes ($\bar{y}$).

b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ a partir dels pendents de totes dues rectes.

c) Indica raonadament si la correlació és directa o inversa i si és forta o feble.

Un entrenador d'atletisme analitza la relació entre l'alçada dels seus atletes en cm ($X$) i la longitud de la seva passada en cm ($Y$). Les dades de 5 atletes són: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) i (190, 145).

a) Obtén la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

b) Quina longitud de passada s'esperaria d'un atleta que mesura 185 cm?

c) Calcula l'error de predicció (residu) per a l'atleta que mesura 180 cm. L'error es defineix com la diferència entre el valor real i l'estimat per la recta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Si el coeficient de correlació fos $r = 0,98$, què podries afirmar sobre la fiabilitat de les prediccions de l'entrenador?

En una taula de contingència que relaciona el nivell d'estudis ($X$) i els ingressos ($Y$) d'una mostra, s'han perdut algunes dades. Coneixem els paràmetres següents:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ i la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcula el coeficient de determinació $R^2$ i interpreta el percentatge de la variància dels ingressos que queda explicada pel nivell d'estudis.

2. Si un individu té un nivell d'estudis de $X=5$ i els seus ingressos reals són de $3\,200$ €, calcula l'error de predicció (residu) que comet la recta.

Un centre d'adopció de mascotes vol predir el temps que triga un gos a ser adoptat ($Y$, en dies) en funció de la seva edat ($X$, en anys). Han recollit dades de 10 gossos i han obtingut una correlació de $r = 0,85$. La mitjana d'edat és de 4 anys i la de dies fins a l'adopció és de 25 dies. La desviació típica de l'edat és de 2 anys i la dels dies és de 10 dies.

a) Obtén l'equació de la recta de regressió.

b) Estima quant de temps trigarà a ser adoptat un cadell de 0,5 anys.

c) Estima quant de temps trigarà un gos sènior de 12 anys.

d) De les dues estimacions anteriors, indica quina és més fiable i per què, tenint en compte el rang de les dades originals (edats entre 1 i 8 anys).

Un sociòleg analitza la relació entre el temps setmanal dedicat a mirar la televisió ($X$, en hores) i la capacitat de concentració en un test específic ($Y$, escala de 0 a 100). Les dades de 10 adolescents van donar els resultats parcials següents:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Es demana:

1. Trobar la covariància $s_{xy}$ i el coeficient de correlació $r$.

2. Obtenir la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

3. Un alumne dedica 40 hores setmanals a mirar la televisió. Calcula la seva puntuació estimada en el test. Analitza si aquesta estimació és una interpolació o una extrapolació i discuteix la seva validesa real en el context del problema.