Exercicis: Logaritmes

Un topògraf mesura la longitud d'una parcel·la destinada a un nou parc central i obté un valor de $154,7$ metres. Si la mesura real exacta és de $154,728$ metres, calcula:

1. a) L'error absolut comès en la mesura.
2. b) L'error relatiu comès, expressat en percentatge i arrodonit a dues xifres decimals.

En un laboratori de biologia, s'estima que el nombre de bacteris en una mostra creix molt ràpidament. Expressa les dades següents utilitzant notació científica:

1. a) El nombre de bacteris després d'una setmana és de $450.000.000$.
2. b) La mida d'un bacteri individual és de $0,0000000025$ metres.
3. c) La massa de la mostra processada és de $0,00034$ grams.

Per comprendre la relació entre potències i logaritmes, completa la taula següent transformant cada igualtat exponencial en la seva forma logarítmica corresponent, basant-te en la definició $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Calcula el valor exacte dels logaritmes següents sense utilitzar la calculadora, aplicant directament la definició:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Sabent que $\log k = 0,6$, utilitza les propietats dels logaritmes (logaritme d'un producte, d'un quocient i d'una potència) per calcular el valor de les expressions següents:

1. a) $\log (10 \cdot k)$
2. b) $\log (k^2)$
3. c) $\log (\frac{k}{100})$

La intensitat del so es mesura en decibels ($dB$) mitjançant una escala logarítmica. Si la fórmula simplificada per comparar dos sons és $dB = 10 \cdot \log_{10}(\frac{I}{I_0})$, on $I_0$ és el llindar d'audició, calcula quants decibels corresponen a:

1. a) Un so la intensitat del qual $I$ és $100$ vegades més gran que $I_0$.
2. b) Un so la intensitat del qual $I$ és $10.000$ vegades més gran que $I_0$.

Sense utilitzar la calculadora en un primer moment, estima entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de situar el valor de $\log_3(70)$, justificant la teva fita a partir de les potències enteres de la base $3$. A continuació, utilitza la fórmula del canvi de base a logaritme decimal per calcular el seu valor numèric amb la calculadora (arredonant a tres xifres decimals) i comprova si la teva estimació era encertada elevant la base $3$ a l'exponent obtingut.

Mateo està resolent a la pissarra l'equació $\log(x + 20) - \log(x) = 1$. A la seva llibreta escriu els passos següents:

Pas 1: $\log(x + 20 - x) = 1$

Pas 2: $\log(20) = 1$

Pas 3: «Com que $\log(20) \ne 1$, l'equació no té solució real».

1. a) Explica amb precisió quin error conceptual va cometre Mateo en el Pas 1 en aplicar les propietats dels logaritmes i posa un contraexemple numèric senzill que demostri que $\log(A - B) \ne \log A - \log B$.
2. b) Resol l'equació correctament aplicant les propietats一群legítimes del logaritme i comprova que la solució obtinguda sigui vàlida substituint-la en l'equació original.

Calcula el valor de les expressions següents utilitzant exclusivament la definició de logaritme, sense fer servir la calculadora:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Sabent que els logaritmes decimals de 2 i 3 són aproximadament $\log 2 \approx 0,3010$ i $\log 3 \approx 0,4771$, utilitza les propietats dels logaritmes per estimar el valor de:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Pista: relaciona el 5 amb el 10 i el 2).

Al laboratori de química, el nivell d'acidesa d'una substància es mesura mitjançant el $pH$, que es defineix com a $pH = -\log[H^{+}]$, on $[H^{+}]$ és la concentració d'ions d'hidrogen en mols per litre.

Si una beguda refrescant té una concentració $[H^{+}] = 2,5 \cdot 10^{-4}$ i una aigua mineral té un $pH = 6,2$:

1. a) Calcula el $pH$ de la beguda refrescant.
2. b) Determina la concentració d'ions d'hidrogen $[H^{+}]$ de l'aigua mineral.

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les propietats dels logaritmes, de manera que el resultat final només contingui logaritmes de variables simples:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Un inversor diposita $5.000$ € en un fons d'inversió que ofereix un interès compost del $3,5 \%$ anual. El montant final $M$ després d'un temps $t$ en anys ve donat per la fórmula $M = C \cdot (1+i)^t$.

Quants anys hauran de transcórrer perquè l'inversor assoleixi un montant de $8.000$ €? Expressa el resultat arrodonint a les unitats.

Resol les equacions logarítmiques següents aplicant les propietats per unificar els termes i comprova la validesa de les solucions obtingudes:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

La magnitud $M$ d'un terratrèmol a l'escala de Richter es relaciona amb l'energia alliberada $E$ (en joules) mitjançant la fórmula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

A la figura tens la gràfica d'aquesta relació (magnitud $M$ a l'eix horitzontal i $\log E$ a l'eix vertical). Calcula amb la fórmula; la gràfica només t'serveix per comprovar que el resultat és raonable.

1. a) Si un terratrèmol té magnitud $M = 5$, quanta energia allibera?

1. b) Si un terratrèmol allibera $10^{15}$ joules d'energia, quina és la seva magnitud a l'escala Richter?

Utilitza la fórmula del canvi de base i la teva calculadora per resoldre les qüestions següents:

1. a) Calcula amb quatre xifres decimals el valor de $\log_{2}(15) + \log_{5}(2)$.

1. b) Resol l'equació exponencial $4^{x+1} = 125$. Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

Dissenya una equació logarítmica de la forma $\log(x) + \log(x - k) = 1$ (on $k$ és un nombre enter positiu constant) que compleixi simultàniament aquestes dues condicions:

1. En transformar-la en una equació polinòmica mitjançant les propietats dels logaritmes, admeti com a candidats a solució els valors $x = 5$ i $x = -2$.

2. En comprovar la validesa en l'equació original, únicament $x = 5$ sigui una solució real vàlida, mentre que $x = -2$ s'hagi de descartar obligatòriament.

1. a) Dedueix algebraicament el valor numèric exacte que ha de tenir la constant $k$.
2. b) Resol l'equació pas a pas amb el valor de $k$ obtingut i justifica de manera rigorosa, acudint a la definició formal de logaritme, per què es rebutja $x = -2$ i s'accepta $x = 5$.

En el marc del Pla Nacional Integrat d'Energia i Clima (PNIEC), una comunitat autònoma va generar $1.200\text{ GWh}$ mitjançant energia solar fotovoltaica l'any 2020. A causa del ritme d'instal·lació de nous parcs, la seva producció creix a una taxa estimada del $14\%$ anual, modelitzada mitjançant la funció $P(t) = 1.200 \cdot (1,14)^t$, on $t$ és el temps en anys transcorregut des de 2020 i $P(t)$ la producció en $\text{GWh}$.

1. a) Planteja l'equació necessària per esbrinar quants anys han de transcórrer per quadruplicar la producció de l'any 2020 (arribar a $4.800\text{ GWh}$) i aïlla-la aplicant logaritmes decimals i les seves propietats.
2. b) Calcula el valor de $t$ arredonant a dos decimals i interpreta en quin any i mes del calendari s'assolirà aquest objectiu.
3. c) Si la taxa de creixement anual hagués estat el doble ($28\%$ anual en lloc del $14\%$), es trigaria exactament la meitat de temps a quadruplicar la producció? Justifica la teva resposta raonant sobre les propietats dels logaritmes sense limitar-te a donar el resultat numèric.

Un laboratori de biotecnologia mesura la mida d'una proteïna com a $4,25 \cdot 10^{-9}$ metres amb un error màxim del $2\%$. Simultàniament, mesuren la distància entre dues cèl·lules com a $0,00034$ metres amb un error absolut de $1,5 \cdot 10^{-6}$ metres.

1. a) Calcula l'error relatiu de totes dues mesures en notació científica.
2. b) Determina raonadament quina de les dues mesures és més precisa.
3. c) Si es sumessin totes dues longituds, quina seria la cota de l'error absolut de la suma?

Sabent que $\log_k a = 2$ i $\log_k b = 5$, utilitza les propietats dels logaritmes per trobar el valor exacte de la següent expressió sense calcular el valor de $k$, $a$ ni $b$:

Resol la següent equació logarítmica assegurant-te de comprovar la validesa de les solucions obtingudes en el domini de definició:

Contextualitza el problema: Si $x$ representés el nombre d'usuaris en milers d'una nova xarxa social, tindrien sentit totes dues solucions matemàtiques en el món real?

L'escala de magnitud de moment ($M_w$), utilitzada per mesurar l'energia dels terratrèmols, es defineix com:

On $E$ és l'energia alliberada en ergs.

La figura mostra, de manera esquemàtica, com creix $\log_{10}(E)$ amb la magnitud $M_w$ i assenyala els dos terratrèmols dels apartats.

1. a) Si un terratrèmol de magnitud $6,5$ es considera "fort", calcula l'energia $E_1$ que allibera, en notació científica.

1. b) Quantes vegades més energia allibera un terratrèmol de magnitud $8,5$ ($E_2$) comparat amb un de magnitud $6,5$ ($E_1$)? Expressa la relació com una potència de base 10.

Un inversor col·loca $15.000 €$ en un producte financer que ofereix un interès compost nominal del $4,5\%$ anual amb capitalització mensual.

1. a) Utilitzant logaritmes, calcula exactament quants mesos han de transcórrer perquè el capital final sigui el triple de l'inicial.
2. b) Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'aquesta operació i expressa-la com a percentatge amb dos decimals. Què significa aquest valor respecte al $4,5\%$ nominal?

Donada l'expressió del nombre d'or $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, demostra mitjançant l'ús de logaritmes i propietats de potències que es compleix la següent igualtat:

Per resoldre l'equació exponencial $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 4^{x+1}$, dos alumnes d'1r de Batxillerat plantegen estratègies completament diferents:

• Candela decideix aplicar directament logaritmes decimals a banda i banda de la igualtat des del primer pas: $\log(5 \cdot 2^{3x}) = \log(3 \cdot 4^{x+1})$.

• Sergio prefereix transformar prèviament les potències a una base comuna ($4 = 2^2$), agrupar els termes exponencials en un membre i els coeficients numèrics en l'altre, i aplicar logaritmes únicament al final.

1. a) Desenvolupa completament la resolució mitjançant el mètode de Candela i mitjançant el mètode de Sergio, comprovant que tots dos condueixen a la mateixa solució exacta expressada com a quocient de logaritmes decimals.
2. b) Analitza tots dos camins: quin dels dos requereix menys transformacions algebraiques i minimitza el risc d'error en manipular els parèntesis amb la incògnita?
3. c) Si en l'equació original canviem la base $4$ per un $7$, obtenint $5 \cdot 2^{3x} = 3 \cdot 7^{x+1}$, explica de manera raonada quin dels dos mètodes continua sent aplicable i per què.

La normativa espanyola sobre contaminació acústica (Llei 37/2003 del Soroll) estableix que el nivell d'intensitat acústica $\beta$ mesurat en decibels ($\text{dB}$) es relaciona amb la intensitat física del so $I$ (en $\text{W/m}^2$) a través de la fórmula:

on $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ representa el llindar d'audició humà. En una zona residencial urbana, el límit diürn està fixat en $65\text{ dB}$.

1. a) Una terrassa d'hostaleria genera un nivell de soroll de $62\text{ dB}$. El consistori autoritza obrir just al costat una altra terrassa idèntica que emet amb la mateixa intensitat física $I$. Un col·lectiu veïnal afirma que el soroll conjunt serà de $62 + 62 = 124\text{ dB}$, superant amb escreix la llei. Demostra mitjançant les propietats dels logaritmes per què aquesta suma directa és un error i calcula el nivell sonor conjunt real ($I_{\text{total}} = 2I$). Es sobrepassa el límit de $65\text{ dB}$?
2. b) Demostra analíticament que cada vegada que la intensitat física d'una font sonora es multiplica per deu, el nivell sonor en decibels augmenta sempre en una quantitat fixa i constant, i indica quin és aquest increment.
3. c) Planteja i resol una equació logarítmica per calcular quantes terrasses idèntiques a la primera haurien de funcionar alhora perquè el nivell sonor conjunt arribés com a mínim als $75\text{ dB}$.