Distribucions de probabilitat contínua
Quant triga exactament l'autobús a arribar? Quant dura exactament la bateria dels teus auriculars? Aquestes preguntes no tenen una resposta de «sí o no» entre uns pocs valors: el temps pot ser $14$ minuts, $14,3$ minuts, $14,37$ minuts... qualsevol nombre d'un interval. Fins ara les variables aleatòries prenien valors aïllats (nombre de cares, nombre d'encerts); ara toca el cas en què la variable pot prendre qualsevol valor real d'un interval.
De allò discret a allò continu
A la variable discreta hi ha barres separades: entre $1$ avaria i $2$ avaries no hi ha res intermedi amb sentit. A la contínua hi ha una corba sense buits: entre $14$ i $15$ minuts hi caben infinits valors possibles ($14,2$; $14,37$; $14,371$...).
La funció de densitat
En el cas discret n'hi havia prou amb una taula amb $P[X=x_i]$ per a cada valor. En el cas continu això no serveix: hi ha infinits valors possibles, de manera que no es pot repartir la probabilitat valor a valor. En el seu lloc s'utilitza una corba, la funció de densitat, i la probabilitat d'un interval és l'àrea que queda sota aquesta corba.
Se sap que el temps que triga l'autobús escolar a completar la seva ruta matinal segueix una distribució de probabilitat contínua la funció de densitat de la qual és…
Se sap que el temps que triga l'autobús escolar a completar la seva ruta matinal segueix una distribució de probabilitat contínua la funció de densitat de la qual és constant en l'interval $[80, 120]$ minuts, i val $0$ en qualsevol altre punt.
- a) Determina el valor de la funció de densitat en aquest interval perquè sigui vàlida.
- b) Calcula la probabilitat que l'autobús trigui menys de 90 minuts a completar la ruta.
- c) Representa gràficament la funció de densitat.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Densitats amb forma: rectangle, triangle i trossos
La densitat més senzilla és constant en un interval (densitat uniforme): l'àrea és llavors un rectangle, $\text{base} \cdot \text{alçada}$. Però moltes situacions reals (un temps de reacció, un temps d'espera que creix i després decreix) es modelitzen amb una densitat triangular o definida a trossos, i l'àrea es calcula tros a tros amb geometria: rectangles, triangles i trapezis.
S'està estudiant el temps que triga un grup de joves a desconnectar per complet després d'apagar el mòbil abans de dormir. La funció de densitat d'aquesta variable…
S'està estudiant el temps que triga un grup de joves a desconnectar per complet després d'apagar el mòbil abans de dormir. La funció de densitat d'aquesta variable aleatòria contínua, $x$, expressada en minuts, ve donada per la gràfica següent:
Calcula raonadament:
- a) El valor de l'ordenada màxima $k$ perquè sigui una funció de densitat vàlida.
- b) La probabilitat que un jove trigui entre 15 i 20 minuts a desconnectar.
- c) Quina és la probabilitat que trigui exactament 22 minuts?
Es considera la funció de probabilitat contínua definida per trams d'una variable aleatòria $X$, que representa el temps (en hores) que un grup d'adolescents dedica a…
Es considera la funció de probabilitat contínua definida per trams d'una variable aleatòria $X$, que representa el temps (en hores) que un grup d'adolescents dedica a l'estudi de matemàtiques en un cap de setmana:
$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k(4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$
- a) Determina raonadament el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat.
- b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar estudiï entre 1,5 i 3 hores.
- c) Quina és la probabilitat que estudiï exactament 2 hores? Justifica la teva resposta basant-te en la naturalesa de la variable.
Un valor exacte no té àrea: $P[X=a]=0$
Primer cop d'ull: la corba de Gauss
La densitat contínua més important a la pràctica és l'anomenada distribució normal, la gràfica de la qual és la campana de Gauss. Apareix una vegada i una altra en mesurar estatures, temps de reacció, puntuacions d'un test o pesos d'un mateix producte: la majoria de valors s'agrupen a prop del centre i n'hi ha cada cop menys a mesura que ens n'allunyem.
Dos nombres basten per descriure-la del tot: la mitjana $\mu$ (on és el centre) i la desviació típica $\sigma$ (com d'estreta o ampla és la campana). Calcular probabilitats exactes amb ella —tipificar, fer servir taules— és el contingut de l'apartat següent; aquí n'hi ha prou amb reconèixer-ne la forma: simètrica, amb un únic màxim en $\mu$, i amb àrea total $1$ com qualsevol funció de densitat.
Torna al principi: la probabilitat que l'autobús trigui exactament $14{,}000\ldots$ minuts és $0$; en magnituds contínues no podem predir instants aïllats, sinó la probabilitat que el valor caigui en un interval, com ara trigar entre $14$ i $15$ minuts.