Funcions lineals: interpolació

La taula següent mostra la temperatura d'un forn industrial a mesura que s'escalfa de manera constant:

Utilitza la interpolació lineal per estimar la temperatura del forn quan han transcorregut $12$ minuts des de l'encesa.

Donada la taula de valors següent que relaciona el nombre d'hores treballades per un programador freelance i els seus honoraris totals:

Calcula, mitjançant la fórmula de la recta d'interpolació, quant cobraria per una feina de $7$ hores. Indica també quin és el preu que cobra per cada hora de feina (pendent).

Un jardiner observa que el creixement d'una espècie de bambú és lineal durant les seves primeres setmanes. Si als $10$ dies mesurava $45$ cm i als $20$ dies mesurava $75$ cm:

1. Determina la funció lineal que modela l'alçada del bambú en funció del temps.

2. Realitza una extrapolació lineal per predir quina alçada tindrà la planta als $25$ dies.

Un cotxe elèctric consumeix energia de la seva bateria de manera proporcional a la distància recorreguda. En sortir del garatge amb el $100\,\%$ de càrrega, després de recórrer $120$ km, la bateria marca un $64\,\%$ de càrrega restant. La figura mostra aquestes dues dades.

1. a) Expressa la funció lineal que indica el percentatge de bateria que queda en funció dels quilòmetres recorreguts.

1. b) Si el conductor decideix parar a recarregar quan li quedi el $15\,\%$ de bateria, quants quilòmetres haurà recorregut en total segons el model lineal?

1. c) Mitjançant extrapolació, determina quin percentatge de bateria marcaria després d'un viatge de $300$ km. Té sentit físic el resultat obtingut? Justifica la teva resposta.

Dues plataformes de música ofereixen els plans mensuals següents:

• Pla A: $5$ € de quota fixa més $0,20$ € per cada cançó descarregada.

• Pla B: Sense quota fixa, però $0,60$ € per cada cançó descarregada.

Anomena $x$ el nombre de cançons descarregades en un mes i $y$ el cost mensual en euros.

1. a) Escriu la funció de cost per a cada pla.

1. b) Representa ambdues funcions en un mateix diagrama d'eixos cartesians (et basta amb prendre valors de $x$ entre $0$ i $20$ cançons) i localitza gràficament el "punt d'equilibri" (on tots dos plans costen el mateix). Indica'n les coordenades.

Les lleis d'oferta i demanda d'un producte s'han modelat linealment a partir de les dades següents recollides en un estudi de mercat:

• A un preu de $15\text{ €}$, s'ofereixen $200$ unitats i es demanen $500$.

• A un preu de $25\text{ €}$, s'ofereixen $400$ unitats i es demanen $300$.

1. a) Calcula les funcions d'oferta $O(p)$ i demanda $D(p)$ mitjançant interpolació lineal.

1. b) Troba el preu d'equilibri (on l'oferta és igual a la demanda) i la quantitat d'equilibri.

1. c) Si el govern imposa un preu màxim de $18\text{ €}$, hi haurà excés d'oferta o escassetat de demanda? Calcula la diferència exacta d'unitats.

Comprova que la paràbola $y = x^{2} - 2x + 3$ passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 2)$ i $(2, 3)$, i utilitza-la per estimar el valor de $y$ en $x = 1,5$.

Es volen interpolar els punts $(0, 1)$, $(1, 4)$ i $(2, 9)$ amb una paràbola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions amb incògnites $a$, $b$ i $c$.

1. b) Comprova que $a = 1$, $b = 2$ i $c = 1$ és solució del sistema i escriu la paràbola interpoladora.

La figura mostra una paràbola que passa pels punts $(1, 3)$, $(3, 7)$ i $(5, 5)$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions que han de complir $a$, $b$ i $c$ perquè $y = ax^{2} + bx + c$ passi pels tres punts, i resol-lo.

1. b) Utilitza la paràbola obtinguda per estimar el valor de $y$ en $x = 4$ (el marcat amb «?» a la figura).

1. c) Comprova amb la gràfica que l'estimació és coherent.