Continuïtat

Analitza la continuïtat de la funció definida a trossos següent en el punt de ruptura $x = 2$. Per fer-ho, comprova si es compleixen les tres condicions de continuïtat:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 7 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Associa cadascuna de les situacions gràfiques següents amb el seu tipus de discontinuïtat corresponent: evitable, de salt finit o de salt infinit.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $g(x)$ sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals:

$g(x) = \begin{cases} kx^2 - 1 & \text{si } x \leq 3 \\ 4x + 5 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una empresa de missatgeria cobra $5$ € per enviaments de fins a $2$ kg de pes (inclosos els $2$ kg). Per a pesos més grans de $2$ kg, la tarifa es regeix per la funció $P(w) = 2w + 1$, on $w$ és el pes en kg i $P(w)$ el cost en euros.

1. a) Expressa la funció de cost $C(w)$, per a $w > 0$, de forma definida a trossos.

1. b) És la funció de cost contínua en el punt $w = 2$? Justifica la teva resposta calculant els límits laterals.

S'està dissenyant el perfil d'una rampa per a una pista d'skate. El disseny combina una secció corba (parabòlica) amb una secció recta per assegurar una transició suau. L'altura $h$ en metres respecte de la distància horitzontal $x$ ve donada per:

$$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} + 1 & \text{si } x \le 2 \\ ax + b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Sabent que perquè la rampa no sigui perillosa la funció ha de ser contínua a $x = 2$ i que el pendent de la recta ha de ser $1$, determina els valors de $a$ i $b$.

Una entitat financera ofereix un compte d'estalvi la rendibilitat del qual ve donada per l'expressió $M(n) = \left(1 + \frac{0,04}{n}\right)^{2n}$, on $n$ representa el nombre de vegades que es liquiden els interessos a l'any. Un estudiant d'economia vol investigar què passa amb el capital final si la capitalització fos instantània, és a dir, si el nombre de liquidacions tendís a infinit.

Calcula el valor de $\lim_{n \to \infty} M(n)$ utilitzant la relació amb el nombre $e$.

El cost de manteniment anual d'un servidor que allotja una xarxa social depèn del nombre de terabytes ($x$) de dades processades, segons la funció:

$$C(x) = \frac{12x^2 + 500x + 1000}{0,5x^2 + 10x}$$

On $C(x)$ és el cost mitjà anual de manteniment per terabyte, expressat en euros. Els enginyers volen saber quin serà el cost mitjà de manteniment per terabyte quan el volum de dades processades sigui extremadament gran. Calcula el límit de la funció quan $x \to +\infty$ i interpreta el resultat en el context del problema.

Un analista financer utilitza un model matemàtic per predir el valor d'una cartera d'inversió agressiva. La rendibilitat $R(x)$ depèn d'un índex de mercat $x$, però el model presenta una discontinuïtat en un valor crític:

$$R(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{|x-3|}{x-3} + kx & \text{si } x < 3 \\ \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

1. Calcula el valor de $k$ perquè existeixi el límit de la funció quan $x$ tendeix a $3$.

2. Un cop trobat $k$, és la funció contínua a $x = 3$? Justifica la teva resposta analitzant els tipus de discontinuïtat.

Considera la funció racional $g(x) = \displaystyle \frac{x^2 + mx + 1}{x^2 - 4}$.

1. Per a quins valors de $m$ la funció té una discontinuïtat evitable a $x = 2$ o $x = -2$?

2. Per a $m = -2$, classifica totes les discontinuïtats de la funció i troba les seves asímptotes.

3. Dibuixa un esquema de les branques infinites per al cas $m = -2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.