Successos dependents i independents
Que plogui dissabte i que aprovis l'examen de dilluns no tenen res a veure entre si: saber una cosa no canvia la probabilitat de l'altra. Però que la primera carta extreta d'una baralla sigui un rei sí que canvia la probabilitat que la segona també ho sigui. Aquest apartat precisa quan dos successos són independents (no s'influeixen) i quan són dependents (sí que ho fan), i com això simplifica —o no— el càlcul de $P(A\cap B)$.
Independència de successos
Un estudiant de 1r de Batxillerat té dos exàmens el mateix dia: Matemàtiques i Anglès. La probabilitat d'aprovar Matemàtiques és $P(M) = 0,7$ i la d'aprovar Anglès és…
Un estudiant de 1r de Batxillerat té dos exàmens el mateix dia: Matemàtiques i Anglès. La probabilitat d'aprovar Matemàtiques és $P(M) = 0,7$ i la d'aprovar Anglès és $P(I) = 0,8$. Suposant que aprovar un examen no influeix en el resultat de l'altre:
- a) Calcula la probabilitat d'aprovar tots dos exàmens.
- b) Calcula la probabilitat de no aprovar cap dels dos.
La regla del producte per a successos independents
Quan $A$ i $B$ són independents, la regla del producte general $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$ se simplifica, perquè $P(A|B)=P(A)$.
Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori. Sabem que la probabilitat que passi el succés $A$ és $P(A) = 0,6$ i la probabilitat que passi el…
Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori. Sabem que la probabilitat que passi el succés $A$ és $P(A) = 0,6$ i la probabilitat que passi el succés $B$ és $P(B) = 0,3$. Si es sap que els successos són independents, calcula la probabilitat que passin tots dos alhora, és a dir, $P(A \cap B)$.
Una urna conté 5 boles grogues i 3 boles liles. Extraiem dues boles de la urna de forma consecutiva i sense devolució. a) Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent a…
Una urna conté 5 boles grogues i 3 boles liles. Extraiem dues boles de la urna de forma consecutiva i sense devolució.
- a) Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent a aquest experiment, indicant la probabilitat de cada branca.
- b) Calcula la probabilitat que les dues boles extretes siguin del mateix color.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Amb reemplaçament i independència; sense reemplaçament i dependència
Les extraccions successives d'una urna són l'exemple més clar de quan hi ha independència i quan no: depèn de si es torna el que s'ha extret.
En una màquina de xicles hi ha boles de tres colors: 10 vermelles, 6 blaves i 4 verdes. Un nen treu un xicle, n'anota el color, el torna a introduir a la màquina i treu…
En una màquina de xicles hi ha boles de tres colors: 10 vermelles, 6 blaves i 4 verdes. Un nen treu un xicle, n'anota el color, el torna a introduir a la màquina i treu un segon xicle.
- a) Justifica si els successos "treure bola vermella en la primera" i "treure bola blava en la segona" són dependents o independents.
- b) Calcula la probabilitat que el primer xicle sigui blau i el segon sigui verd.
Extraiem dues cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes, l'una rere l'altra i sense retornar la primera a la baralla. a) Quina és la probabilitat que la primera carta…
Extraiem dues cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes, l'una rere l'altra i sense retornar la primera a la baralla.
- a) Quina és la probabilitat que la primera carta sigui un Rei?
- b) Sabent que la primera carta va ser un Rei, quina és la probabilitat que la segona també sigui un Rei?
- c) Són aquests successos dependents o independents?
Independència de diversos successos
Amb tres o més successos, no n'hi ha prou de comprovar la independència de dos en dos: cal que la regla del producte funcioni també per a tots junts.
Dos components electrònics d'un dron, $A$ i $B$, funcionen de forma independent. La probabilitat que falli el component $A$ és de $0,05$ i la probabilitat que falli el…
Dos components electrònics d'un dron, $A$ i $B$, funcionen de forma independent. La probabilitat que falli el component $A$ és de $0,05$ i la probabilitat que falli el component $B$ és de $0,08$.
- a) Calcula la probabilitat que el dron pugui continuar volant si per a això cal que almenys un dels dos components funcioni correctament.
- b) Calcula la probabilitat que falli exactament un dels dos components.
En un popular videojoc d'estratègia, els jugadors obren "cofres llegendaris" per obtenir recompenses. La probabilitat d'obtenir un heroi de nivell S en el primer cofre…
En un popular videojoc d'estratègia, els jugadors obren "cofres llegendaris" per obtenir recompenses. La probabilitat d'obtenir un heroi de nivell S en el primer cofre és de només $0,05$. No obstant això, el joc té un sistema de "sort acumulada": si no obtens l'heroi en un cofre, la probabilitat d'obtenir-lo en el següent augmenta en $0,02$ respecte a la probabilitat del cofre anterior. Si obtens l'heroi, la probabilitat torna a ser $0,05$ per al següent intent.
La figura mostra la situació que has d'estudiar: els dos primers cofres no donen l'heroi i l'heroi apareix al tercer.
Calcula la probabilitat que un jugador necessiti obrir exactament tres cofres per obtenir el seu primer heroi de nivell S.