Una màquina fabrica $600$ peces i el $5\,\%$ en surt defectuós: quina és la probabilitat que hi hagi entre $25$ i $35$ peces defectuoses? És una binomial $B(600,\ 0{,}05)$, però calcular aquesta probabilitat sumant a mà cada cas amb $\binom{600}{k}$ seria una bogeria. Quan $n$ és gran, la binomial es pot aproximar per una normal, i el problema es resol amb la taula que ja coneixes.
Quan $n$ creix, l'histograma d'una binomial $B(n,p)$ va semblant-se cada cop més a una campana de Gauss: les barres s'estrenyen i el seu contorn dibuixa la mateixa forma simètrica que la normal.
Practica★☆☆Sense començar
Un tirador de tirs lliures de bàsquet té una probabilitat d'encert de $p = 0,8$. Si realitza $n = 100$ llançaments, volem saber si podem aproximar la variable binomial…
Un tirador de tirs lliures de bàsquet té una probabilitat d'encert de $p = 0,8$. Si realitza $n = 100$ llançaments, volem saber si podem aproximar la variable binomial $X$ (nombre d'encerts) per una distribució normal.
a) Comprova si es compleixen les condicions $n \cdot p \ge 5$ i $n \cdot q \ge 5$.
b) En cas afirmatiu, indica quins serien els paràmetres $\mu$ i $\sigma$ de la nova distribució normal $X'$.
No sempre es pot aproximar: si $p$ és molt a prop de $0$ o de $1$ i $n$ no és gaire gran, l'histograma queda molt asimètric i la campana no s'ajusta bé.
Practica★☆☆Sense començar
Es llença una moneda equilibrada ($p = 0,5$) a l'aire $400$ vegades. Calcula la probabilitat d'obtenir menys de $190$ cares utilitzant l'aproximació de la binomial a la…
Es llença una moneda equilibrada ($p = 0,5$) a l'aire $400$ vegades. Calcula la probabilitat d'obtenir menys de $190$ cares utilitzant l'aproximació de la binomial a la normal (sense aplicar encara la correcció de continuïtat).
Pas 1: Calcula la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$.
Pas 2: Tipifica el valor $X = 190$ i busca a la taula.
La binomial només pren valors enters ($0,1,2,3,\dots$), però la normal és contínua: per a un valor exacte, $P[X'=65]$ valdria $0$ a la normal (l'àrea d'una sola línia és nul·la). Per això, abans de tipificar, cada valor enter $k$ s'"eixampla" en un interval $[k-0{,}5,\ k+0{,}5]$.
Practica★★☆Sense començar
En una plataforma de streaming, el $15\%$ dels usuaris cancel·la la seva subscripció abans d'acabar el mes de prova. Si aquest mes s'hi han apuntat $400$ nous usuaris,…
En una plataforma de streaming, el $15\%$ dels usuaris cancel·la la seva subscripció abans d'acabar el mes de prova. Si aquest mes s'hi han apuntat $400$ nous usuaris, calcula, utilitzant l'aproximació normal amb correcció de continuïtat, la probabilitat que es donin de baixa exactament $65$ usuaris.
El procediment complet encadena tot l'anterior: comprovar les condicions, trobar $\mu$ i $\sigma$, aplicar la correcció de continuïtat segons el que es demani, tipificar i llegir la taula.
Practica★★☆Sense començar
Un estudi sobre hàbits de reciclatge afirma que el $35\%$ de les llars d'una ciutat separa correctament el plàstic. Si es selecciona una mostra aleatòria de $120$ llars:…
Un estudi sobre hàbits de reciclatge afirma que el $35\%$ de les llars d'una ciutat separa correctament el plàstic. Si es selecciona una mostra aleatòria de $120$ llars:
a) Justifica per què es pot aproximar aquest experiment per una distribució normal.
b) Calcula la probabilitat que, en aquesta mostra, separein el plàstic entre $40$ i $50$ llars (tots dos inclosos).
Un estudi sobre hàbits de lectura en adolescents revela que el 70 % dels joves d'entre 15 i 16 anys prefereix el format digital per sobre del paper. Si seleccionem una…
Un estudi sobre hàbits de lectura en adolescents revela que el 70 % dels joves d'entre 15 i 16 anys prefereix el format digital per sobre del paper. Si seleccionem una mostra aleatòria de 400 adolescents:
a) Justifica si és possible aproximar la distribució de la variable "nombre d'adolescents que prefereixen el format digital" mitjançant una distribució normal.
b) Calcula, utilitzant l'aproximació anterior i realitzant la correcció de continuïtat, la probabilitat que prefereixin el format digital entre 270 i 290 adolescents (tots dos inclosos).
El 5 % de les peces fabricades per una màquina d'alta precisió resulten defectuoses. Si s'empaqueten en caixes de 200 unitats, calcula la probabilitat que en una caixa:…
El 5 % de les peces fabricades per una màquina d'alta precisió resulten defectuoses. Si s'empaqueten en caixes de 200 unitats, calcula la probabilitat que en una caixa:
a) Hi hagi exactament 10 peces defectuoses.
b) Hi hagi més de 15 peces defectuoses.
c) El nombre de peces defectuoses sigui menor o igual a 5.
Argumenta si els resultats serien significativament diferents si no s'apliqués la correcció de continuïtat.
Alguns problemes combinen l'aproximació amb idees de la secció anterior sobre la normal: la regla empírica $\mu\pm2\sigma$, o un percentil (trobar el valor que deixa una probabilitat donada a un costat).
Practica★★★Sense començar
En un examen de tipus test amb 100 preguntes, cadascuna amb 4 opcions de resposta (només una de correcta), un alumne contesta totes les preguntes a l'atzar. Sigui $X$ el…
En un examen de tipus test amb 100 preguntes, cadascuna amb 4 opcions de resposta (només una de correcta), un alumne contesta totes les preguntes a l'atzar. Sigui $X$ el nombre de preguntes que encerta. Pots aproximar la distribució de $X$ per una normal amb la mateixa mitjana i la mateixa desviació típica.
a) Quina és la probabilitat que encerti més de 30 preguntes?
b) Si per aprovar l'examen cal obtenir almenys 40 encerts, quina és la probabilitat que l'alumne aprovi per pur atzar?
c) Calcula l'interval $(np - 2\sigma,\ np + 2\sigma)$, on $n$ és el nombre de preguntes, $p$ la probabilitat d'encertar una pregunta a l'atzar i $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ la desviació típica de $X$. Interpreta'n el significat en aquest context.
Una cadena de gimnasos sap que el 20 % dels seus clients inscrits no acudeix mai a les instal·lacions. Si en un gimnàs concret hi ha 600 inscrits: a) Calcula la…
Una cadena de gimnasos sap que el 20 % dels seus clients inscrits no acudeix mai a les instal·lacions. Si en un gimnàs concret hi ha 600 inscrits:
a) Calcula la probabilitat que el nombre de clients que mai no hi acudeixen estigui entre 110 i 135 inclosos.
b) Si el gimnàs decideix llançar una campanya de motivació per a aquests clients si el nombre d'"inactius" supera els 140, quina probabilitat hi ha que hagin de llançar aquesta campanya?
c) Quin és el nombre màxim de clients inactius que s'espera trobar amb una probabilitat del 90 %?
En Python 3, amb biblioteca estàndard, compara la probabilitat exacta d'entre 40 i 50 èxits en 120 assajos independents de probabilitat 0,35 amb la seva aproximació normal. Prediu l'ordre de magnitud abans d'executar:
frommathimportcomb,sqrtfromstatisticsimportNormalDistn,p=120,0.35masa=[comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k)forkinrange(n+1)]modelo=NormalDist(n*p,sqrt(n*p*(1-p)))exacta=sum(masa[40:51])aprox=modelo.cdf(50.5)-modelo.cdf(39.5)print(exacta,aprox,abs(exacta-aprox))print('Control:',sum(masa))print('Puntual en 42:',masa[42])print('Acumulada hasta 42:',sum(masa[:43]))print('Percentil normal 90:',modelo.inv_cdf(0.90))
Contrasta l'aproximació amb la taula de l'exemple anterior: el petit canvi es deu al fet que el programa no arrodoneix z abans de calcular. La suma de totes les masses ha d'aproximar-se a 1. El percentil de la normal no ha de ser necessàriament enter: per trobar el percentil binomial busca el menor enter k amb acumulada com a mínim 0,90.
Registra exacta, aproximació i error absolut; canvia p a 0,02 i torna a comparar. Explica per què n gran per si sol no basta. Per estimar una probabilitat desconeguda per freqüències, repeteix un experiment o simulació a 100 i 1 000 assajos: més dades solen estabilitzar l'estimació, però no garanteixen acostar-s'hi a cada pas.
A practicar! 5 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat
Torna al principi: Per a la màquina amb $B(600,\ 0{,}05)$, tenim $\mu=30$ i $\sigma=\sqrt{28{,}5}\approx5{,}34$; aplicant Yates, $P[25\leq X\leq35]\to P[24{,}5\leq X'\leq35{,}5]=P[-1{,}03\leq Z\leq1{,}03]=2\cdot0{,}8485-1=0{,}6970$ (un $69{,}7\,\%$).
Resum
A practicar! 4 exercicis de nivell fàcil en aquest apartat