Equacions exponencials i logarítmiques

Resol les equacions exponencials següents escrivint tots dos membres com a potències de la mateixa base:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Resol les equacions exponencials següents amb la incògnita en una expressió de l'exponent:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Aplicant la definició de logaritme, resol:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Resol aplicant la funció inversa adequada:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Resol l'equació $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ fent el canvi de variable $t = 2^{x}$. Comprova les solucions obtingudes.

Resol l'equació $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ treient factor comú de la potència més petita. Comprova la solució.

Resol les equacions:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Resol l'equació logarítmica $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ i comprova la validesa de cada solució candidata.

Resol l'equació $\log x + \log(x + 3) = 1$, on $\log$ denota el logaritme decimal. Per què una de les solucions de l'equació de segon grau associada s'ha de descartar?

Resol les equacions prenent logaritmes decimals en tots dos membres. Expressa la solució exacta com a quocient de logaritmes (no cal donar el valor decimal):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Resol l'equació $3^{x - 1} = 2^{x}$ prenent logaritmes neperians en tots dos membres. Expressa la solució exacta en funció de logaritmes i dona el seu valor aproximat amb dos decimals.

Una família ingressa $5.000\ \text{ €}$ en un dipòsit al $4 \%$ d'interès compost anual, de manera que el capital al cap de $t$ anys és $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Planteja l'equació exponencial que determina quants anys han de passar perquè el capital arribi a $8.000\ \text{ €}$.

1. b) Resol-la aplicant logaritmes i expressa el resultat arrodonit a mesos.

1. c) Sense fer tot el càlcul, raona si amb un interès del $2 \%$ el temps necessari seria exactament el doble. Comprova la teva conjectura amb el càlcul.

Resol el sistema logarítmic:

Comprova que la solució verifica les dues equacions i que els valors són vàlids per als logaritmes.

Resol el sistema exponencial:

Indicació: converteix cada equació en una equació lineal per als exponents.