Funció de densitat i funció de distribució contínues

Es defineix la funció de densitat d'una variable aleatòria contínua $X$ que representa el temps d'espera (en minuts) perquè comenci una partida en un servidor de videojocs:

$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 0 & \text{en la resta} \end{cases}$

1. a) Determina el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat vàlida.

1. b) Representa gràficament la funció $f(x)$ amb el valor de $k$ que has obtingut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La durada de la bateria d'un nou model d'auriculars sense fil segueix una distribució uniforme entre les 4 i les 10 hores. La seva funció de densitat és constant en aquest interval: $f(x) = \frac{1}{6}$. Calcula la probabilitat que la bateria duri entre 5 i 8 hores, interpretant-la com l'àrea d'un rectangle.

S'està estudiant el temps de reacció, en segons, d'un grup d'adolescents davant d'un estímul visual en un videojoc. La funció de densitat d'aquesta variable contínua ve donada per l'expressió següent:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$

Determina:

1. a) El valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat vàlida.
2. b) La probabilitat que un jugador triat a l'atzar tingui un temps de reacció superior a $1,5$ segons.
3. c) La probabilitat que el temps de reacció estigui comprès exactament entre $0,5$ i $1$ segons.

El temps d'espera, en minuts, fins que es descarrega una actualització en una consola segueix una distribució contínua la funció de densitat de la qual té forma de trapezi. La funció està definida entre $0$ i $10$ minuts. Entre els minuts $0$ i $4$, la funció és constant amb un valor $h$, i entre els minuts $4$ i $10$ decreix linealment fins a arribar a $0$.

1. a) Calcula el valor de $h$ perquè sigui una funció de densitat.
2. b) Calcula la probabilitat que l'actualització trigui a descarregar-se menys de $6$ minuts.
3. c) Si un usuari fa més de $4$ minuts que espera, quina probabilitat hi ha que la descàrrega finalitzi abans del minut $8$?

Sigui $f(x)$ una funció definida a trossos de la manera següent:

$f(x) = \begin{cases} k \cdot x & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en la resta} \end{cases}$

1. a) Determina, de manera raonada, el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat d'una variable aleatòria contínua $X$.

1. b) Un cop trobada $k$, calcula la probabilitat que la variable prengui un valor comprès en l'interval $[1, 3]$, és a dir, $P(1 \le X \le 3)$.

1. c) Representa gràficament la funció $f(x)$ i ombreja en el dibuix l'àrea que correspon a la probabilitat calculada a l'apartat b).

Dada la funció de densitat $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida per a l'interval $x \in [1, 5]$ i $f(x)=0$ a la resta:

1. a) Comprova que l'àrea total sota la corba és efectivament $1$.
2. b) Troba un valor $M$ (mediana) tal que $P(X \le M) = 0,5$.
3. c) Calcula la probabilitat condicionada $P(X > 4 | X > 2)$.