Potències d'exponent enter

És molt comú confondre l'efecte dels parèntesis quan la base és negativa. Calcula els següents valors i explica la diferència entre ells:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Calcula el valor de les següents expressions combinades respectant la jerarquia de les operacions i les regles dels exponents:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

Aplica les propietats de les potències per simplificar la següent expressió i deixa el resultat en forma d'una única potència de base positiva:

$$\frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}$$

Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de potència d'una potència i producte de potències. Expressa el resultat com una sola potència:

$$(2^3)^2 \cdot (2^{-2})^4$$

Calcula el valor numèric de les següents potències amb exponent negatiu, expressant el resultat final en forma de fracció irreductible:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

Opera i simplifica la següent expressió, deixant el resultat en forma de fracció irreductible sense exponents negatius:

$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{3}}{\left( \frac{3}{2} \right)^{4} \cdot 2^{-1}}$$

Per calcular la capacitat d'emmagatzematge d'un nou servidor al núvol, un enginyer ha de simplificar la següent expressió numèrica. Utilitza les propietats de les potències per reduir-la a una única potència de base prima o a un producte d'elles amb exponents positius:

$$\frac{12^4 \cdot 18^{-2} \cdot 2^5}{32 \cdot 3^{-3}}$$

Calcula el valor de la següent expressió numèrica descomponent les bases en factors primers i simplificant al màxim. El resultat ha de ser un nombre enter o una fracció irreductible:

$$\frac{15^6 \cdot 12^{-4} \cdot 80^3}{20^4 \cdot 27^2 \cdot 3^{-5}}$$

Un biòleg observa una població de bacteris que es triplica cada hora. Si inicialment hi havia $3^2$ bacteris, expressa mitjançant una potència de base $3$:

1. a) Quants bacteris hi haurà després de $5$ hores?
2. b) Quants bacteris hi haurà després de $n$ hores?

En un laboratori de biotecnologia, una població de bacteris es triplica cada hora. Si inicialment hi havia $3^4$ bacteris, l'expressió que representa el nombre de bacteris al cap de $t$ hores és $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) Quants bacteris hi haurà al cap d'un dia ($t=24$)? Expressa el resultat com una potència.

1. b) Si a causa d'un antibiòtic la població es redueix dividint-se per $9^5$, simplifica l'expressió resultant:

$$\frac{3^4 \cdot 3^{24}}{9^5}$$

Un inversor analitza dos productes financers. En el primer, el seu capital es multiplica per $1,02$ cada mes (interès compost). En el segon, a causa de l'alta volatilitat, el capital es multiplica per $1,05$ un mes, però disminueix multiplicant-se per $0,98$ el mes següent, i es repeteix aquest cicle de dos mesos indefinidament.

Si l'inversor diposita una quantitat $C$ durant $2$ anys ($24$ mesos), expressa mitjançant potències d'exponent enter el capital final obtingut en cada opció. Quina de les dues opcions és més rendible després d'aquests $24$ mesos? Justifica la teva resposta comparant les bases de les potències resultants, un cop expressades amb el mateix exponent.