Tècniques de recompte

Una plataforma de streaming permet personalitzar el perfil d'usuari triant un avatar entre 4 animals diferents (lleó, panda, gat i llop) i un color de fons entre 3 opcions (blau, verd i taronja).

1. a) Descriu l'espai mostral $E$ de les possibles combinacions de perfil.

1. b) Quants elements té l'espai mostral? Utilitza el principi multiplicatiu per justificar-ho.

Al menú de la cafeteria del teu institut pots triar un primer plat entre amanida, pasta o arròs; un segon entre pollastre o peix; i una postra entre fruita o iogurt.

1. a) Representa mitjançant un diagrama d'arbre totes les opcions possibles de menú complet.
2. b) Si tries un menú a l'atzar, quina és la probabilitat que inclogui "pasta" de primer?

Un cadenat de combinació per a un armariet té un codi de 3 xifres. Cada xifra pot ser un nombre del $1$ al $5$.

1. a) Quantes combinacions diferents es poden crear si els nombres es poden repetir?
2. b) Quantes combinacions hi ha si els tres nombres han de ser diferents?

En un torneig local d'escacs participen 8 jugadors. Es repartiran tres trofeus diferents per al primer, segon i tercer classificat.

1. a) De quantes formes diferents es poden repartir els tres premis?
2. b) Si el campió de l'any passat torna a participar i estem segurs que quedarà entre els tres primers, quantes classificacions de podi són possibles ara?

Un grup de música té preparades 10 cançons per al seu nou àlbum, però la discogràfica els diu que només poden incloure-hi 4 d'elles.

1. a) Quantes seleccions diferents de 4 cançons poden fer si no importa l'ordre en què es triïn?
2. b) Com es diuen aquest tipus d'agrupacions en combinatòria? Justifica la teva resposta.

Una plataforma de contingut en streaming utilitza un codi de seguretat per al control parental. El codi consta de 2 lletres (d'un alfabet de 26, sense la Ñ) seguides de 3 dígits (del 0 al 9).

• a) Quants codis diferents es poden crear si es poden repetir lletres i nombres?

• b) Si un usuari oblida el seu codi però recorda que comença per la lletra "A" i acaba en el número "7", quantes combinacions possibles hauria de provar?

• c) Si el codi es generés de forma aleatòria sense permetre repetició de cap caràcter (lletres o nombres), quina seria la probabilitat que el codi fos "BX123"?

S'ha realitzat una enquesta a 200 joves sobre els seus hàbits de lectura i de consum de televisió. Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Si triem un jove a l'atzar d'aquesta enquesta, calcula:

• a) La probabilitat que llegeixi habitualment i vegi la televisió menys de 2 hores al dia.

• b) Sabent que el jove llegeix habitualment, quina és la probabilitat que vegi la televisió més de 2 hores al dia?

• c) Són els successos "Llegir habitualment" i "Veure la televisió més de 2 hores al dia" independents? Justifica la resposta matemàticament.

Una empresa de logística organitza les seves rutes utilitzant un codi de barres de $10$ franges verticals. Cada franja pot ser de color negre, gris o blanc. Per motius de llegibilitat de l'escàner, no es permeten codis on hi hagi tres franges consecutives del mateix color.

1. Quants codis diferents de $10$ franges es poden formar en total (sense restriccions)?

2. Si es tria un codi a l'atzar entre tots els possibles (sense restriccions), quina és la probabilitat que les franges en les posicions senars siguin totes negres i les de les posicions parells siguin totes blanques o grises?