Paràmetres i recta de regressió

Una filmoteca en línia vol comprovar si existeix relació entre el nombre d'entregues d'una saga cinematogràfica ($X$) i la valoració mitjana dels espectadors (sobre 10 punts, $Y$). Es disposa dels paràmetres següents després d'analitzar 50 sagues:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.
2. b) Interpreta el resultat obtingut en el context del problema: tendeixen les sagues més llargues a tenir millors o pitjors valoracions?

El "centre de gravetat" d'una distribució bidimensional és el punt format per les mitjanes de totes dues variables, denotat com a $(\bar{x}, \bar{y})$. Un grup d'amics ha anotat el temps que passen en xarxes socials al dia ($X$, en minuts) i les hores que dormen cada nit ($Y$, en hores):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcula les coordenades del centre de gravetat d'aquesta distribució.

Un estudi sociològic analitza la relació entre el nombre de llibres llegits a l'any ($X$) i la puntuació en un test d'agilitat mental ($Y$). La covariància és $12,5$. En duplicar el nombre de llibres llegits de tots els enquestats i sumar 5 punts a tots en el test d'agilitat mental, es demana:

1. a) Raona què passa amb la nova covariància $\sigma'_{xy}$.
2. b) Si el coeficient de correlació original era $r = 0,75$, quin serà el nou coeficient $r'$ després dels canvis? Justifica la teva resposta analíticament.
3. c) Canviarà la fiabilitat de les prediccions després d'aquestes modificacions de les dades?

En un estudi sobre el rendiment dels patinets elèctrics s'analitza la temperatura ambient ($X$, en $^\circ C$) i l'autonomia real aconseguida ($Y$, en km). Es coneixen les dades següents:

• La variància de la temperatura és $s_x^2 = 16$.

• La recta de regressió de l'autonomia sobre la temperatura és $y = -0,85x + 42$.

• El coeficient de determinació és $R^2 = 0,7225$.

Calcula:

1. a) La covariància entre la temperatura i l'autonomia.
2. b) La desviació típica de l'autonomia, $s_y$.
3. c) Què passaria amb el coeficient de correlació si decidíssim mesurar la temperatura en graus Fahrenheit utilitzant la transformació $F = 1,8X + 32$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de la correlació.

Observa el núvol de punts següent que representa la relació entre la inversió en publicitat de 8 petites empreses i els seus beneficis mensuals (tots dos en milers d'euros).

1. a) Justifica, sense fer càlculs, si el signe de la covariància serà positiu o negatiu.
2. b) Tria raonadament quin dels valors següents podria ser el coeficient de correlació de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) Què passaria amb el valor de $r$ si decidíssim expressar les dades en euros en lloc de en milers d'euros?

Una nutricionista estudia la relació entre els grams de sucre ($X$) i les quilocalories ($Y$) de cinc tipus de barretes energètiques. Ha obtingut els paràmetres marginals següents:

• Mitjana de sucre: $\bar{x} = 12$ g

• Mitjana d'energia: $\bar{y} = 210$ kcal

• Desviacions típiques: $\sigma_x = 3$ g i $\sigma_y = 25$ kcal

• Covariància: $\sigma_{xy} = 60$

Calcula el coeficient de correlació lineal ($r$) i interpreta si existeix una relació forta entre totes dues variables.

Si el coeficient de determinació d'una distribució bidimensional és $R^2 = 0,81$, calcula el valor del coeficient de correlació $r$ (suposant que la relació és directa) i explica quin percentatge de la variació de la variable $Y$ queda explicada per la variable $X$.

Una aplicació de música en línia analitza la relació entre l'edat dels seus usuaris ($X$) i el nombre d'artistes diferents que escolten al mes ($Y$). Es coneixen els sumatoris següents per a una mostra de $n = 10$ usuaris:

1. Calcula el coeficient de correlació de Pearson.

2. Determina el coeficient de determinació $R^2$ i interpreta el seu significat: quin percentatge de la variació del nombre d'artistes escoltats queda explicat per l'edat de l'usuari?

Un agricultor observa que la producció de la seva collita de taronges depèn de les hores de sol rebudes durant l'etapa de maduració. Les rectes de regressió obtingudes de dades històriques són:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determina el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució.
2. b) Calcula el coeficient de correlació de Pearson a partir dels pendents de les dues rectes de regressió.

Donada una distribució bidimensional, s'ha comprovat que les desviacions típiques de les dues variables són iguals ($s_x = s_y$).

1. a) Demostra algebraicament que, en aquest cas, el coeficient de correlació lineal coincideix amb el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

1. b) Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,6x + 2$, quin és el coeficient de determinació?

1. c) Quin seria el pendent de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ en aquestes condicions?

Donades les rectes de regressió $y = -2x + 10$ i $x = -0,4y + 4$, raona si les afirmacions següents són vertaderes o falses, demostrant-ho mitjançant el càlcul dels paràmetres corresponents:

1. a) La correlació entre les variables és positiva perquè les dues pendents tenen el mateix signe.

1. b) El centre de gravetat de la distribució és el punt $(3, 4)$.

1. c) Les variables tenen una dependència funcional perfecta.

1. d) La variància de $Y$ és més gran que la variància de $X$.