Fraccions algebraiques
Una fracció algebraica com $\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ es maneja exactament igual que $\dfrac{10}{15}$: per simplificar-la, sumar-la o dividir-la cal factoritzar abans, igual que amb els nombres cal conèixer-ne els factors. Tot el que s'ha treballat a Polinomis s'aplica aquí en un únic bloc de càlcul.
Simplificar factoritzant numerador i denominador
Simplificar una fracció algebraica és cancel·lar els factors que el numerador i el denominador tenen en comú. El pas imprescindible, sempre, és factoritzar-los tots dos primer.
Simplifica la fracció algebraica següent utilitzant les identitats notables per descompondre el numerador: $$\frac{x^2 - 25}{x - 5}$$ Indica per a quin valor de $x$…
Simplifica la fracció algebraica següent utilitzant les identitats notables per descompondre el numerador:
$$\frac{x^2 - 25}{x - 5}$$Indica per a quin valor de $x$ l'expressió original no té sentit matemàtic.
Extreu factor comú al numerador i al denominador per simplificar al màxim l'expressió següent: $$\frac{4x^2 + 8x}{2x^2 - 6x}$$
Extreu factor comú al numerador i al denominador per simplificar al màxim l'expressió següent:
$$\frac{4x^2 + 8x}{2x^2 - 6x}$$Multiplicació i divisió de fraccions algebraiques
Igual que amb les fraccions numèriques: multiplicar és numerador per numerador i denominador per denominador; dividir és multiplicar per la fracció inversa. Factoritzar abans de multiplicar gairebé sempre permet simplificar sobre la marxa.
Un error molt comú entre els estudiants és "ratllar" termes que estan sumant. Observa la il·lustració següent i raona, sense realitzar càlculs complexos, per què la…
Un error molt comú entre els estudiants és "ratllar" termes que estan sumant. Observa la il·lustració següent i raona, sense realitzar càlculs complexos, per què la igualtat plantejada és falsa:
Quina condició s'hauria de complir perquè la simplificació fos correcta?
Un equip d'enginyers aeroespacials està analitzant la resistència d'un nou material compost. La relació entre la deformació i la càrrega aplicada ve donada per la…
Un equip d'enginyers aeroespacials està analitzant la resistència d'un nou material compost. La relació entre la deformació i la càrrega aplicada ve donada per la següent fracció algebraica:
$$R(x) = \frac{x^3 - 7x^2 + 10x}{x^2 - 25}$$Factoritza el numerador i el denominador per simplificar l'expressió al màxim i facilitar els càlculs posteriors de l'equip.
Suma i resta: mínim comú múltiple dels denominadors
Amb el mateix denominador, se sumen els numeradors sense tocar el denominador. Amb denominadors diferents, cal un comú denominador, que es troba factoritzant cada denominador i prenent el mínim comú múltiple.
Calcula la suma de les fraccions algebraiques següents. Com que tenen el mateix denominador, recorda que només has d'operar amb els numeradors: $$\frac{3x + 1}{x + 2} +…
Calcula la suma de les fraccions algebraiques següents. Com que tenen el mateix denominador, recorda que només has d'operar amb els numeradors:
$$\frac{3x + 1}{x + 2} + \frac{x + 7}{x + 2}$$Realitza el producte de fraccions algebraiques següent i simplifica el resultat abans de multiplicar els termes si és possible: $$\frac{x + 3}{5} \cdot \frac{10}{x^2 -…
Realitza el producte de fraccions algebraiques següent i simplifica el resultat abans de multiplicar els termes si és possible:
$$\frac{x + 3}{5} \cdot \frac{10}{x^2 - 9}$$En un estudi sobre la propagació d'una notícia a les xarxes socials, s'ha determinat que el temps de resposta dels usuaris (en segons) depèn de dues variables combinades…
En un estudi sobre la propagació d'una notícia a les xarxes socials, s'ha determinat que el temps de resposta dels usuaris (en segons) depèn de dues variables combinades en la següent operació:
$$\frac{3x}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} - \frac{8}{x^2-4}$$Realitza l'operació reduint a comú denominador i simplifica el resultat per obtenir una única fracció algebraica que modeli aquest comportament.
Operacions combinades i fraccions complexes
Quan es barregen sumes, restes, productes i parèntesis, es resol primer el que hi ha entre parèntesis i després s'encadena, igual que amb nombres. Una fracció complexa —amb fraccions dins del numerador o del denominador— es redueix primer cada pis a una única fracció, i es divideix al final.
Una empresa de logística urbana utilitza drons per repartir paquets. L'àrea de la base de les caixes de transport és rectangular i les seves dimensions, en decímetres,…
Una empresa de logística urbana utilitza drons per repartir paquets. L'àrea de la base de les caixes de transport és rectangular i les seves dimensions, en decímetres, vénen donades per les expressions que es mostren en la imatge. Calcula l'expressió simplificada que representa l'àrea total de la base de la caixa multiplicant totes dues dimensions.
Les dimensions són $Largo = \frac{x^2 - 1}{x}$ i $Ancho = \frac{x+2}{x-1}$. Calcula l'àrea del rectangle simplificant el producte de totes dues fraccions.
Simplifica al màxim la següent expressió algebraica, factoritzant prèviament tots els polinomis mitjançant identitats notables i la regla de Ruffini: $$\frac{x^4 - 13x^2…
Simplifica al màxim la següent expressió algebraica, factoritzant prèviament tots els polinomis mitjançant identitats notables i la regla de Ruffini:
$$\frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^3 - x^2 - 9x + 9} \cdot \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 + x - 6}$$