Núvols de punts i correlació

Observa els diagrames de dispersió següents representats a continuació. Identifica en cada cas si la correlació és positiva, negativa o nul·la.

Associa cadascuna de les parelles de variables següents amb el tipus de núvol de punts que esperaries obtenir (creixent, decreixent o sense forma definida):

1. a) El nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe i el combustible que queda al seu dipòsit.
2. b) L'alçada d'un grup d'adolescents i la seva nota en l'examen de Llengua.
3. c) Les hores d'entrenament d'un atleta i la seva marca personal en una cursa de 100 metres llisos.
4. d) La temperatura exterior a l'estiu i el consum d'energia dels aparells d'aire condicionat.

Observa el diagrama de dispersió següent que representa la relació entre les hores d'entrenament setmanal ($X$) i els punts anotats en una temporada per un grup de jugadors de bàsquet ($Y$).

Basant-te en la forma del núvol de punts, respon:

1. a) És una relació directa o inversa?
2. b) Com qualificaries la força de la correlació: forta o feble?
3. c) Quin signe esperes que tingui la covariància $\sigma_{xy}$ per a aquestes dades?

Comparem dos núvols de punts representats en els gràfics següents. Tots dos mostren una relació directa entre les variables.

1. a) En quin dels dos gràfics els punts estan més propers a una possible recta de regressió?
2. b) Quin dels dos tindrà un coeficient de correlació $r$ més proper a $1$?
3. c) Si al gràfic A el valor de $r$ és $1$, quin valor raonable (entre $0$ i $1$) podries assignar al gràfic B?

S'ha mesurat el pes ($X$) i l'alçada ($Y$) dels jugadors d'un equip de bàsquet. El núvol de punts mostra una forma molt allargada i estreta que segueix una direcció ascendent.

Què ens indica que el núvol sigui "estret" respecte a la intensitat de la correlació? Com anomenaríem la relació entre el pes i l'alçada en aquest cas (directa o inversa)?

La direcció de la relació entre dues variables ens indica com varia l'una quan canvia l'altra. Determina si existeix una correlació positiva, correlació negativa o si les variables estan incorrelacionades en els casos següents:

1. a) El nombre de faltes d'assistència a classe i la qualificació final del curs.
2. b) La talla de calçat d'una persona i la seva nota mitjana en Matemàtiques.
3. c) La temperatura exterior a l'estiu i el consum d'energia dels aparells d'aire condicionat.
4. d) Els anys d'antiguitat d'un telèfon mòbil i el seu preu de revenda al mercat de segona mà.

La covariància $\sigma_{xy}$ ens informa sobre el sentit de la variació conjunta de dues variables. Sense fer tots els càlculs complexos, observa les dades següents que relacionen la temperatura d'un refresc ($X$, en $^\circ C$) i el temps que fa que està fora de la nevera ($Y$, en minuts):

1. a) A mesura que augmenta el temps, la temperatura tendeix a augmentar o a disminuir?
2. b) Justifica, segons la teva resposta anterior, si la covariància serà positiva, negativa o nul·la.

El coeficient de correlació de Pearson, $r$, és una mesura adimensional que oscil·la en un rang determinat. Dels valors següents, indica quins no són possibles per a un coeficient de correlació i explica per què:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

La taula següent mostra la distància recorreguda ($X$, en km) i el temps emprat ($Y$, en min) per un ciclista en les seves sortides d'entrenament:

1. a) Dibuixa el núvol de punts.
2. b) Traça a mà alçada la recta que s'ajusti millor als punts (recta de regressió).
3. c) Utilitzant la recta que has dibuixat, estima quant de temps trigaria el ciclista a recórrer 45 km. Creus que aquesta estimació és fiable?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un estudi sobre la relació entre el nombre de llibres llegits a l'any ($X$) i la puntuació en un test de comprensió lectora ($Y$) en un grup d'alumnes. El núvol de punts resultant es mostra a continuació:

1. a) Indica si existeix una dependència funcional o una dependència estadística. Explica la diferència entre tots dos conceptes fent servir aquest exemple.
2. b) Classifica la correlació segons el seu signe i la seva intensitat (forta, moderada o feble).
3. c) Podríem afirmar que "llegir més llibres causa necessàriament treure millor nota"? Raona la diferència entre correlació i causalitat.

Un biòleg mesura l'altura d'una espècie de planta exòtica ($Y$, en cm) en funció de la quantitat de fertilitzant nitrogenat aplicat ($X$, en mg). Observa que, al principi, l'altura augmenta ràpidament amb el fertilitzant, però a partir de certa quantitat, la planta es satura i l'altura s'estabilitza o fins i tot decreix lleugerament a causa de la toxicitat.

1. Analitza el núvol de punts i determina si un model de regressió lineal seria adequat per descriure aquesta relació en tot el domini de $X$.

2. Si el biòleg calcula el coeficient de correlació de Pearson per a totes les dades i obté un valor proper a $0$, significa això que les variables són independents? Justifica la resposta basant-te en la forma del núvol.

Explica raonadament per què les dades següents no es podrien representar correctament mitjançant un núvol de punts en el context de l'estadística bidimensional:

En un estudi sobre demografia urbana, es representen a l'eix $X$ la densitat de població (hab./$km^2$) i a l'eix $Y$ el preu mitjà del lloguer ($€/m^2$). El núvol de punts obtingut presenta una estructura molt peculiar: dos grups de punts clarament diferenciats ("clústers"). El grup 1 correspon a barris perifèrics i el grup 2 a barris del centre històric.

1. Si dins de cada grup per separat la correlació és positiva i forta, però en considerar tots els punts junts el núvol sembla no tenir una tendència clara, quins problemes trobaríem en intentar calcular un únic coeficient de correlació de Pearson per a tota la ciutat?

2. Explica com l'existència de variables qualitatives ocultes (com el tipus de barri) pot "enganyar" la interpretació d'un núvol de punts bidimensional.

Considera un núvol de punts amb una correlació lineal positiva molt forta ($r = 0,98$). Suposem que meformem tots els valors de la variable $X$ mitjançant l'operació $X' = X + 50$ i tots els valors de la variable $Y$ mitjançant $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Descriu quins canvis experimentaria el núvol de punts en el pla (translació, deformació, canvi d'escala).

2. Raona, sense fer càlculs, si el nou coeficient de correlació $r'$ serà més gran, més petit o igual a l'original $r$.

3. Canviaria la fiabilitat de les prediccions si utilitzéssim el nou núvol de punts transformat? Explica per què.