Límits en un punt

Calcula els límits següents realitzant la substitució directa en l'expressió de la funció:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 4)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{2x + 5}{x - 3}$

1. c) $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

Un estudi de mercat indica que els beneficis diaris d'una nova cafeteria, en euros, segueixen la funció $B(t) = t^2 + 5t - 10$, on $t$ és el temps en mesos des de la seva obertura. Calcula el límit dels beneficis quan el temps tendeix a $3$ mesos ($t \to 3$).

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, completa la taula de valors següent per aproximar el límit de la funció quan $x$ tendeix a $1$. A quin valor sembla que s'acosta la funció?

Un creador de contingut ha observat que el creixement de seguidors del seu canal durant la primera hora d'un directe segueix la funció $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$, on $x$ és el temps en minuts. Tanmateix, just al minut $x = 5$, la plataforma va patir una petita errada tècnica i no va registrar dades.

Estima el valor al qual tendeixen els seguidors quan el temps s'aproxima a $5$ minuts completant la taula de valors següent i calculant el límit:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

Donada la funció definida a trossos:

Calcula els límits laterals en el punt de ruptura:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

Existeix el límit $\lim_{x \to 1} f(x)$? Justifica la teva resposta.

Calcula el valor del límit següent resolent la indeterminació mitjançant la factorització de polinomis:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}$

Resol el límit següent utilitzant la tècnica del producte pel binomi conjugat per eliminar l'arrel del numerador:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x - 4}$

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$, estudia el seu comportament quan $x$ s'acosta a $2$.

Per a fer-ho, calcula els límits laterals:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Explica, basant-te en els resultats, si la funció té una asímptota vertical o una discontinuïtat evitable en aquest punt.

En un laboratori de biologia, s'estudia la concentració d'una toxina en un cultiu bacterià. La concentració $C$ en parts per milió (ppm) respecte a la temperatura $x$ en graus centígrads segueix la funció:

$C(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$

Calcula la concentració límit quan la temperatura tendeix a $1^\circ\text{C}$. Està definida la concentració exactament a aquesta temperatura? Justifica la teva resposta analitzant el domini i el límit en aquest punt.

Considera la funció racional $R(x) = \frac{x^2 - m}{x^2 - 5x + 6}$.

1. a) Determina el valor de $m$ perquè la funció presenti una discontinuïtat evitable en $x = 2$.

1. b) Per a aquest valor de $m$, calcula $\lim_{x \to 2} R(x)$.

1. c) Què passa amb el límit de la funció en $x = 3$ per al valor de $m$ trobat a l'apartat a)? Calcula els límits laterals en $x = 3$ i descriu el comportament de les branques infinites de la funció al costat d'aquesta recta.