Augments i disminucions percentuals
Un ordinador costa 847 € amb el 21 % d'IVA ja inclòs, després d'un 30 % de descompte sobre el preu de catàleg. Quin era aquest preu de catàleg? I si el teu sou puja un 20 % un any i baixa un 20 % l'any següent, guanyes, perds o et quedes igual? Les dues preguntes es resolen amb la mateixa eina: l'índex de variació.
L'índex de variació
El preu d'una entrada per al festival de música "Tecno-Vibes" és de $55\text{ €}$. Si l'organització decideix augmentar-ne el preu un $12\text{ \%}$ a causa de l'alta…
El preu d'una entrada per al festival de música "Tecno-Vibes" és de $55\text{ €}$. Si l'organització decideix augmentar-ne el preu un $12\text{ \%}$ a causa de l'alta demanda, quin serà el nou preu de l'entrada? Indica també quin és l'índex de variació aplicat.
El sou d'un jove programador augmenta un $5\text{ \%}$ en finalitzar el seu primer any de contracte. Tanmateix, al segon any, a causa d'una meitat a l'empresa, li…
El sou d'un jove programador augmenta un $5\text{ \%}$ en finalitzar el seu primer any de contracte. Tanmateix, al segon any, a causa d'una meitat a l'empresa, li redueixen el salari un $5\text{ \%}$. Creus que el seu sou final és el mateix que l'inicial? Justifica la teva resposta calculant l'índex de variació global.
Variacions encadenades: diverses pujades o baixades seguides
Quan s'apliquen dues o més variacions percentuals una darrere l'altra, es multipliquen els índexs: mai se sumen ni es resten directament els tants per cent.
Un petit comerç de barri decideix actualitzar els preus dels seus productes segons el cost de la vida. A principis d'any puja tots els preus un $4$ %. A l'estiu, a causa…
Un petit comerç de barri decideix actualitzar els preus dels seus productes segons el cost de la vida. A principis d'any puja tots els preus un $4$ %. A l'estiu, a causa d'una promoció especial, aplica un descompte del $10$ % sobre els preus ja actualitzats.
- a) Calcula l'índex de variació global.
- b) Quina ha estat la variació percentual total respecte del preu original de finals de l'any passat?
- c) Si un producte costava originalment $25$ €, quin és el seu preu després dels dos canvis?
En una botiga de moda urbana s'apliquen rebaixes successives. Primer s'anuncia un descompte general del $20\%$ sobre tots els articles. Durant la "setmana de…
En una botiga de moda urbana s'apliquen rebaixes successives. Primer s'anuncia un descompte general del $20\%$ sobre tots els articles. Durant la "setmana de liquidació", s'aplica un descompte addicional del $30\%$ sobre el preu ja rebaixat. Un client té un cupó VIP que permet un descompte extra del $10\%$ sobre l'últim preu obtingut.
Aquest procés de tres descomptes és equivalent a un únic descompte del $60\%$? Justifica la resposta calculant l'índex de variació global i determina quin seria el preu inicial d'una dessuadora que acaba costant $39,20$ € després dels tres descomptes.
Desfer un percentatge: IVA, IRPF i preus ja rebaixats
Si coneixes la quantitat final i necessites la inicial, divideixes entre l'índex en lloc de multiplicar.
Un component electrònic té un preu de venda al públic de $242\text{ €}$ amb el $IVA$ del $21\text{ \%}$ ja inclòs. Determina el preu del producte abans d'impostos (base…
Un component electrònic té un preu de venda al públic de $242\text{ €}$ amb el $IVA$ del $21\text{ \%}$ ja inclòs. Determina el preu del producte abans d'impostos (base imposable).
El preu d'una subscripció prèmium a una plataforma d'streaming és de $15,99$ € al mes, IVA inclòs. Sabent que el tipus d'IVA aplicat a aquests serveis digitals a Espanya…
El preu d'una subscripció prèmium a una plataforma d'streaming és de $15,99$ € al mes, IVA inclòs. Sabent que el tipus d'IVA aplicat a aquests serveis digitals a Espanya és del $21$ %, calcula:
- a) La base imposable de la factura (el preu abans d'impostos).
- b) L'import exacte que es paga d'IVA.
- c) Si la plataforma anuncia una pujada de la base imposable del $5$ % per al pròxim any, quin serà el nou preu mensual amb l'IVA inclòs?
Variacions en sentit contrari: es cancel·len una pujada i una baixada iguals?
«Puja un 20 % i després baixa un 20 %: em quedo com estava.» És l'error més comú amb els percentatges, i mai no és cert llevat que el percentatge sigui $0\,\%$.
Un inversor compra accions d'una empresa tecnològica. Durant el primer mes, el valor de les accions puja un $20$ %. Durant el segon mes, el valor cau un $20$ %.…
Un inversor compra accions d'una empresa tecnològica. Durant el primer mes, el valor de les accions puja un $20$ %. Durant el segon mes, el valor cau un $20$ %. L'inversor afirma: "M'he quedat igual que al principi, ni he guanyat ni he perdut".
- a) Demostra matemàticament si l'inversor té raó o no, utilitzant índexs de variació.
- b) Si va invertir inicialment $5.000$ €, quin és el valor de la seva inversió després dels dos mesos?
- c) Calcula el percentatge de variació global de la inversió.
Un inversor reparteix els seus estalvis en dos productes financers. En el Producte A inverteix el $60\%$ del seu capital i obté un benefici del $15\%$. En el Producte B…
Un inversor reparteix els seus estalvis en dos productes financers. En el Producte A inverteix el $60\%$ del seu capital i obté un benefici del $15\%$. En el Producte B inverteix la resta i pateix una pèrdua del $8\%$.
Calcula l'índex de variació global del seu capital total i el percentatge de guany o pèrdua neta. Si en finalitzar l'any el seu capital total ascendeix a $53.100$ €, quin era el seu capital inicial i quants diners va perdre específicament en el Producte B?
Torna al principi: L'ordinador va patir un descompte del $30\,\%$ ($I_{v1} = 0{,}70$) i un recàrrec del $21\,\%$ d'IVA ($I_{v2} = 1{,}21$), amb un índex global de $0{,}70 \cdot 1{,}21 = 0{,}847$; en dividir el preu final entre aquest índex obtens el preu de catàleg: $847 : 0{,}847 = 1\,000$ €.