Concepte de derivada

Un creador de contingut analitza l'evolució dels seus seguidors en una xarxa social durant la darrera setmana. El nombre de seguidors $S$ en funció del dia $t$ ve donat per l'expressió $S(t) = t^2 + 10t + 500$. Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) dels seus seguidors entre el dia $t=1$ i el dia $t=4$. Explica amb les teves paraules què significa el resultat obtingut en el context del problema.

La velocitat d'un patinet elèctric durant els primers segons d'un trajecte segueix la funció $v(t) = 0,5t^2 + 2$, on $v$ és la velocitat en m/s i $t$ el temps en segons.

1. a) Calcula la TVM en els intervals $[2, 3]$ i $[2, 2,1]$.
2. b) A quin valor creus que s'aproxima la variació quan l'interval és cada vegada més petit al voltant de $t=2$?

Donada la funció lineal $f(x) = 4x - 3$, utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el límit:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

per calcular el valor de la derivada en el punt $x=2$. Comprova si el resultat coincideix amb el pendent de la recta.

Calcula, utilitzant estrictament la definició de derivada en un punt (mitjançant el límit quan $h \to 0$), el valor de $f'(3)$ per a la funció:

$$f(x) = 2x^2 - 5x + 1$$

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 + 1$ en el punt d'abscissa $x=1$, sabent que el valor de la derivada en aquest punt és $f'(1) = 2$.

(Recorda que l'equació de la recta tangent és $y - f(a) = f'(a)(x - a)$).

El concepte de derivada permet aproximar el valor d'una funció a prop d'un punt conegut. Observa l'esquema següent on es mostra una funció i la seva recta tangent en el punt $P(1, 2)$.

Si sabem que l'equació de la recta tangent taronja és $y = 3x - 1$:

1. a) Quin és el valor de la derivada de la funció a $x = 1$? Justifica la teva resposta.
2. b) Si volguéssim saber el valor de la funció a $x = 1,1$, quin valor obtindríem si utilitzéssim la recta tangent per aproximar-ho?
3. c) Creus que per a $x = 5$ la recta tangent continuaria sent una bona aproximació de la funció? Explica per què.

Es diu que una funció és "derivable" en un punt si la seva gràfica no presenta salts ni pics angulosos en aquest lloc. Analitza la funció següent definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{si } x \le 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. a) Comprova si la funció és contínua a $x = 1$.
2. b) Calcula les derivades laterals a $x = 1$ (és a dir, la derivada de cada tram en aquest punt).
3. c) A partir dels resultats anteriors, és la funció derivable a $x = 1$? Justifica la teva resposta relacionant la continuïtat i l'existència de les derivades laterals.

Associa cadascun dels punts marcats en la gràfica ($A$, $B$ i $C$) amb el signe de la derivada de la funció en aquest punt (positiva, negativa o zero). Justifica la teva resposta dibuixant mentalment la recta tangent en cada punt.

La gràfica següent mostra el perfil d'una muntanya russa en un tram específic. Se sap que el pendent de la via en un punt determina la sensació d'acceleració dels passatgers.

Basant-te en el concepte geomètric de la derivada:

1. a) És nul·la la derivada en algun dels tres punts assenyalats ($A$, $B$ o $C$)? Què significa que la derivada sigui nul·la respecte a la inclinació de la via?
2. b) Indica si la derivada en el punt $B$ és positiva o negativa. Justifica si la vagoneta està pujant o baixant en aquest instant.
3. c) Ordena de menor a major els valors de les derivades en els punts $A, B$ i $C$.