Definicions

El club de teatre d'un institut decideix sortejar tres entrades per a l'estrena entre el públic assistent. Per a això, utilitza un bombo amb boles numerades del $1$ al $20$. Es considera l'experiment aleatori d'extreure una bola i anotar-ne el número.

Defineix els elements següents:

1. a) L'espai mostral $E$.

1. b) L'esdeveniment $A$: "obtenir un número que sigui múltiple de $5$".

1. c) L'esdeveniment $B$: "obtenir un nombre primer més gran que $10$".

1. d) L'esdeveniment $C$: "obtenir un número menor que $4$".

Escriu tots els esdeveniments elementals que formen cadascun dels conjunts anteriors.

En una urna hi ha $12$ boles de colors: $5$ són vermelles, $4$ són blaves i $3$ són grogues. Extraiem una bola a l'atzar i observem el seu color. Utilitzant la Regla de Laplace, calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) $P(R)$: "la bola sigui vermella".
2. b) $P(A \cup M)$: "la bola sigui blava o groga".
3. c) $P(\bar{R})$: "la bola no sigui vermella".
4. d) $P(V)$: "la bola sigui verda".

Una aplicació de música ha analitzat les preferències d'un grup de joves. Se sap que la probabilitat que a un usuari li agradi el Trap és $P(T) = 0,65$, la probabilitat que li agradi el Pop és $P(P) = 0,40$ i la probabilitat que li agradin tots dos gèneres és $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcula la probabilitat que, en triar un usuari a l'atzar:

1. a) Li agradi el Trap o el Pop.
2. b) No li agradi el Trap.
3. c) Li agradi el Trap però no el Pop ($P(T - P)$).

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ dels subscriptors ha vist l'última temporada d'una sèrie de ciència-ficció ($S$), el $40\ \%$ ha vist un documental sobre natura ($D$) i el $25\ \%$ ha vist tots dos continguts. Si seleccionem un usuari a l'atzar, calcula la probabilitat dels successos següents:

a) Que hagi vist la sèrie o el documental.

b) Que no hagi vist ni la sèrie ni el documental.

c) Que hagi vist la sèrie però no el documental.

Indica raonadament si les assignacions de probabilitat següents per a un espai mostral $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ són vàlides segons els axiomes de Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

S'ha realitzat una enquesta als alumnes d'un institut sobre l'ús de xarxes socials. Se sap que la probabilitat que un alumne utilitzi Instagram ($I$) és $P(I) = 0,82$ i la probabilitat que utilitzi TikTok ($T$) és $P(T) = 0,55$. Si la probabilitat que no n'utilitzi cap de les dues és $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utilitza les Lleis de Morgan per calcular:

a) La probabilitat que utilitzi com a mínim una de les dues xarxes socials.

b) La probabilitat que utilitzi totes dues simultàniament.

c) Són els successos "utilitzar Instagram" i "utilitzar TikTok" incompatibles? Raona la resposta.

Donats dos successos $A$ i $B$ associats a un mateix experiment aleatori, sabem que la probabilitat que no en passi cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. A més, es coneix que $P(A) = 0,5$ i que la probabilitat que passi $A$ però no passi $B$ és $P(A - B) = 0,3$.

Calcula de forma raonada, utilitzant les propietats de la probabilitat i les lleis de Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$