Notació científica

El vídeo d'un conegut streamer espanyol ha assolit la xifra de $45.200.000$ reproduccions en només una setmana. Expressa aquest nombre de visualitzacions utilitzant la notació científica i indica quina és la seva mantissa i quin és el seu ordre de magnitud.

Al laboratori de Biologia, un grup d'alumnes observa que el diàmetre d'un glòbul vermell és d'aproximadament $7,5 \cdot 10^{-6}$ metres. La figura representa el glòbul vermell amb la mesura del seu diàmetre.

Expressa aquesta mesura en forma decimal (notació estàndard) i explica cap a quin costat es desplaça la coma i quantes posicions.

Indica quins dels nombres següents estan escrits correctament en notació científica. En cas que algun no ho estigui, explica breument per què:

1. a) $0,45 \cdot 10^{8}$
2. b) $1,02 \cdot 10^{-5}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{3}$
4. d) $9,99 \cdot 10^{12}$

Una empresa de tecnologia està comparant la mida de tres components electrònics. Les mides són: $A = 3,2 \cdot 10^{-4}$ mm, $B = 1,5 \cdot 10^{-3}$ mm i $C = 8,9 \cdot 10^{-4}$ mm. Ordena els components de menor a major mida basant-te en els seus exponents i mantisses.

En un centre de processament de dades d'una coneguda xarxa social, s'estima que cada segon es generen $2,5 \cdot 10^6$ megabytes (MB) d'informació nova.

1. a) Expressa en notació científica quants gigabytes (GB) es generen en un dia sencer (considera que $1 \text{ GB} = 10^3 \text{ MB}$).

1. b) Si cada disc dur d'emmagatzematge té una capacitat de $1,2 \cdot 10^{13}$ bytes, quants discs durs seran necessaris per emmagatzemar la informació d'un any de traspàs? (considera que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Indica el resultat amb tres xifres significatives.

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'aproximadament $1,5 \cdot 10^{8}$ km. Si la llum viatja a una velocitat de $3 \cdot 10^{5}$ km/s, calcula el temps que triga la llum del Sol a arribar a la Terra fent l'operació directament en notació científica (recorda que $t = \frac{d}{v}$).

La massa d'una partícula de pols en suspensió és d'aproximadament $7,25 \cdot 10^{-10}$ kg. Un purificador d'aire ha capturat, després d'una setmana de funcionament, un total de $4,35 \cdot 10^{-2}$ grams d'aquestes partícules.

1. a) Calcula el nombre total de partícules capturades pel purificador.

1. b) Si el filtre del purificador s'ha de canviar quan arriba a una massa acumulada de $1,5 \text{ decigrames}$, quantes setmanes més podrà funcionar abans de requerir manteniment? Expressa els càlculs i el resultat final en notació científica.

Un servidor de dades emmagatzema arxius de música. Cada cançó ocupa una mitjana de $4,5 \cdot 10^{6}$ bytes. Si el servidor té emmagatzemades $2 \cdot 10^{4}$ cançons, quants bytes totals de música hi ha al servidor? Expressa el resultat final en notació científica.

Determina el valor de $x$ en cada una de les igualtats següents perquè es mantingui l'equivalència en notació científica:

1. a) $345.000 = 3,45 \cdot 10^{x}$
2. b) $0,00007 = 7 \cdot 10^{x}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{4} = 1,25 \cdot 10^{x}$

Un grup d'investigadors analitza la inversió en I+D de tres potències mundials. La primera hi inverteix $4,2 \cdot 10^{11} €$, la segona $1,85 \cdot 10^{12} €$ i la tercera $9,7 \cdot 10^{10} €$.

1. a) Calcula la inversió total de totes tres potències juntes, expressant el resultat en notació científica.

1. b) Quin percentatge del total representa la inversió de la potència que menys diners aporta? Arrodoneix el percentatge a dos decimals.

En microelectrònica, el gruix d'una capa aïllant en un processador és de $4,5$ nanòmetres ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$). Si el processador té una superfície total de $1,2 \text{ cm}^2$:

1. a) Expressa el gruix de la capa en metres fent servir notació científica.

1. b) Calcula el volum total de material aïllant utilitzat en aquest processador en metres cúbics ($m^3$). Tingues en compte que el volum és el producte de la superfície pel gruix.

Fes les operacions combinades següents i expressa el resultat en notació científica, arrodonint a tres xifres significatives:

Un glòbul vermell té una forma aproximadament circular amb un diàmetre de $7,5 \cdot 10^{-4} \text{ cm}$.

1. a) Calcula la longitud de la seva circumferència en metres. (Fes servir $\pi \approx 3,1416$).

1. b) Si poguéssim posar en fila tots els glòbuls vermells d'un adult (aproximadament $2,5 \cdot 10^{13}$ glòbuls), quina distància en quilòmetres assolirien? Expressa el resultat en notació científica.

En un laboratori de nanotecnologia, s'està analitzant la massa d'una nova partícula sintètica estimada en $m = 4,25 \cdot 10^{-22}$ grams. Tanmateix, l'instrument de mesura té una cota d'error absolut de $5 \cdot 10^{-25}$ grams. D'altra banda, un astrònom mesura la massa d'un asteroide proper com a $M = 7,8 \cdot 10^{15}$ quilograms amb un error relatiu del $0,01\%$.

Realitza les tasques següents expressant tots els resultats en notació científica:

1. a) Determina l'interval de valors possibles per a la massa de la partícula $m$ utilitzant la notació d'entorns $E(a, r)$.

1. b) Calcula la cota d'error relatiu comès en la mesura de la partícula i compara-la amb l'error relatiu de l'asteroide. Justifica raonadament quina mesura és més precisa.

1. c) Si s'unissin $1,5 \cdot 10^{24}$ partícules iguals, quina seria la massa total resultant? Considera tant el valor estimat com l'error absolut acumulat.