La distribució binomial

Una cafeteria propera a l'institut ha analitzat el nombre de cafès que demana cada client en un matí. La distribució de probabilitat de la variable $X$ = "nombre de cafès per client" ve donada per la taula següent:

1. a) Troba el valor de $k$ perquè sigui una distribució de probabilitat vàlida.
2. b) Quina és la probabilitat que un client demani almenys 2 cafès?

Determina raonadament si els experiments aleatoris següents es poden modelar mitjançant una distribució binomial. En cas afirmatiu, indica els seus paràmetres $n$ i $p$:

1. a) Llançar una moneda 15 vegades i anotar el nombre de cares obtingudes.
2. b) Extreure, una a una i sense retorn, 3 cartes d'una baralla espanyola i comptar el nombre d'oros.
3. c) Preguntar a 40 persones triades a l'atzar en un centre comercial si han vist l'última pel·lícula de superherois, sabent que el $30\%$ de la població ja l'ha vista.

Un tirador amb arc té una probabilitat de fer diana del $80\%$. Si realitza una tanda de 10 llançaments independents, calcula els paràmetres de la distribució binomial corresponent:

1. a) Nombre esperat de dianes (mitjana $\mu$).
2. b) Desviació típica $\sigma$.

Un estudi recent sobre hàbits digitals afirma que el $35 \%$ dels adolescents espanyols d'entre 15 i 16 anys prefereix utilitzar pòdcasts com a font principal d'entreteniment enfront de les xarxes socials convencionals. Si seleccionem un grup aleatori de 10 estudiants de 1r de Batxillerat:

1. a) Justifica per què aquest experiment es pot modelitzar mitjançant una distribució binomial i defineix els seus paràmetres $n$ i $p$.
2. b) Calcula la probabilitat que exactament 4 d'ells prefereixin els pòdcasts.
3. c) Troba la mitjana i la desviació típica del nombre d'estudiants que prefereixen els pòdcasts en aquest grup.

En una partida d'un joc de taula, un jugador necessita treure almenys un "6" en llançar un dau equilibrat de sis cares en 5 intents per evitar ser eliminat. Sigui $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que surt el número "6" en els 5 llançaments.

1. a) Determina la funció de probabilitat de la variable $X$ (calcula $P(X=k)$ per a $k=0,1,2,3,4,5$).

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador no sigui eliminat (és a dir, que obtingui almenys un sis).

1. c) Representa gràficament la distribució mitjançant un diagrama de barres (a l'eix horitzontal, el nombre de sisos $k$; a l'eix vertical, $P(X=k)$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes elèctriques per als seus repartiments urbans. Es sap per experiència que la probabilitat que una furgoneta necessiti una recàrrega addicional abans d'acabar el seu torn és de $0,15$. Si l'empresa té una flota de 8 furgonetes operant simultàniament:

1. a) Calcula la probabilitat que, en un dia determinat, com a màxim 2 furgonetes necessitin la recàrrega addicional.
2. b) Quina és la probabilitat que més de 6 furgonetes completin el seu torn sense necessitat de recàrrega extra? (Ves amb compte a definir correctament què consideres "èxit").

En un popular joc de taula d'estratègia, un jugador llança un dau especial de quatre cares (tetraèdric) equilibrat, amb les cares numerades de l'1 al 4, de manera que totes tenen la mateixa probabilitat de sortir. Es defineix la variable aleatòria $X$ com a "puntuació obtinguda al dau".

1. a) Elabora la taula de la distribució de probabilitat de la variable $X$.

1. b) Calcula l'esperança matemàtica o mitjana $\mu$ i interpreta'n el significat en el context del joc.

Una cadena de botigues de roba "vintage" ha comprovat que el $20 \%$ dels clients que entren al seu establiment fan una compra superior a $50$ €. Si en un matí entren 12 clients de forma independent:

1. a) Quina és la probabilitat que el nombre de clients que gastin més de $50$ € sigui igual a la mitjana de la distribució?
2. b) Calcula la probabilitat que almenys 3 clients facin aquesta compra.

Un servidor de correu electrònic detecta que el $10 \%$ dels missatges que rep són "spam" (correu no desitjat). El filtre de seguretat analitza els missatges en blocs de 20.

1. a) Troba el nombre esperat de correus "spam" per bloc i la seva desviació típica.
2. b) Calcula la probabilitat que en un bloc hi hagi exactament un missatge de "spam".
3. c) Si el bloc es marca com a "sospitós" quan conté més de 3 missatges de "spam", quina és la probabilitat que un bloc sigui marcat com a tal?

Al club de tir amb arc d'un institut, la probabilitat que una arquera encerti a la diana en un llançament és $p$. S'ha observat que la probabilitat que, en una sèrie de $4$ llançaments, tots siguin encerts és exactament el doble de la probabilitat que només $3$ ho siguin.

1. a) Calcula el valor de $p$.

1. b) Amb el valor de $p$ obtingut, si realitza una sèrie de $6$ llançaments, quina és la probabilitat que en falli almenys $2$?

Un creador de contingut en una xarxa social coneguda sap que la probabilitat que un seguidor comparteixi un qualsevol dels seus vídeos és exactament $p = 0,02$. Suposa que cada vídeo és compartit o no per aquest seguidor de manera independent dels altres, de manera que el nombre de vídeos compartits, $X$, segueix una distribució binomial $B(n;\,0,02)$.

El creador publica una sèrie de $n$ vídeos i vol estar segur, amb una probabilitat superior al $95\%$, que almenys un d'ells sigui compartit per un seguidor concret que visualitza tots els seus continguts.

1. a) Determina el nombre mínim de vídeos, $n$, que ha de publicar per assolir aquest objectiu, és a dir, perquè $P(X \geq 1) > 0,95$.

1. b) Si finalment publica $n = 150$ vídeos, calcula l'esperança matemàtica i la desviació típica del nombre de vídeos compartits per aquest seguidor. Interpreta el significat de l'esperança en aquest context.

En una cadena de muntatge de components per a e-sports, s'ha determinat que la probabilitat que un microxip sigui defectuós és $p$. Es sap que en un lot de $n$ microxips, la mitjana de components defectuosos és de $12$ i la variància és de $10,56$.

1. a) Calcula els valors dels paràmetres $n$ (mida del lot) i $p$ (probabilitat de defecte).

1. b) Si s'extreu una mostra aleatòria de $10$ microxips d'un lot nou, quina és la probabilitat que n'hi hagi exactament $2$ de defectuosos? I la probabilitat que n'hi hagi com a màxim un?