Sistemes d'equacions no lineals
El perímetre d'una sala per a un "escape room" és de $20$ m i la seva superfície és de $24$ m². Dues incògnites (llarg i ample), però una de les dues equacions —l'àrea— té un producte d'incògnites: ja no és lineal. Aquests sistemes, amb una recta i una paràbola o una circumferència, es resolen amb la mateixa idea de sempre: aïllar en l'equació més senzilla i substituir, però ara la substitució desemboca en una equació de segon grau.
Reconèixer un sistema no lineal
El perímetre d'una zona rectangular destinada a un «escape room» és de $20$ metres i la seva superfície total és de $24$ metres quadrats. Calcula les dimensions…
El perímetre d'una zona rectangular destinada a un «escape room» és de $20$ metres i la seva superfície total és de $24$ metres quadrats.
Calcula les dimensions (llargada i amplada) de l'habitació plantejant i resolent un sistema d'equacions.
Una recta i una corba: aïllar i substituir
Troba les solucions del sistema d'equacions següent: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$ A quina figura geomètrica correspon la primera equació? I la…
Troba les solucions del sistema d'equacions següent:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$
A quina figura geomètrica correspon la primera equació? I la segona?
Un dron de vigilància segueix una trajectòria de seguretat en línia recta descrita per l'equació $x - y = 1$. Alhora, un intrús es desplaça pel perímetre d'una zona…
Un dron de vigilància segueix una trajectòria de seguretat en línia recta descrita per l'equació $x - y = 1$. Alhora, un intrús es desplaça pel perímetre d'una zona restringida la trajectòria de la qual respon a la funció parabòlica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina els punts exactes del pla on totes dues trajectòries es creuen perquè el dron pugui interceptar l'intrús.
La figura mostra les dues trajectòries perquè t'orientis; les coordenades dels punts de creuament les has de calcular tu.
Una recta i una circumferència: punts de tall
Calcula dos nombres naturals sabent que la seva diferència és igual a $4$ i que la suma dels seus quadrats és $106$. Planteja un sistema d'equacions no lineals i…
Calcula dos nombres naturals sabent que la seva diferència és igual a $4$ i que la suma dels seus quadrats és $106$. Planteja un sistema d'equacions no lineals i resol-lo utilitzant el mètode de substitució.
Un estudi biològic analitza la interacció de dues poblacions de microorganismes en un laboratori. El nombre d'individus de cada població, $x$ i $y$, ha de satisfer el…
Un estudi biològic analitza la interacció de dues poblacions de microorganismes en un laboratori. El nombre d'individus de cada població, $x$ i $y$, ha de satisfer el sistema d'equacions exponencials següent:
$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$
Determina els valors de $x$ i $y$ aplicant un canvi de variable si cal.
Interpretació geomètrica de les solucions
Resol el sistema d'equacions no lineals següent utilitzant el mètode de substitució: $\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$ La figura mostra la paràbola i…
Resol el sistema d'equacions no lineals següent utilitzant el mètode de substitució:
$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$
La figura mostra la paràbola i la recta corresponents a les dues equacions.
- a) Resol el sistema per substitució i calcula les coordenades de totes les solucions $(x, y)$.
- b) Explica breument què representen geomètricament les solucions obtingudes (punts de tall entre una paràbola i una recta) i comprova que el que has obtingut concorda amb la figura.
En el disseny d'un nou logotip per a una marca de roba, s'utilitza un cercle i una línia recta. El cercle està centrat en l'origen i la seva equació és $x^2 + y^2 = 25$.…
En el disseny d'un nou logotip per a una marca de roba, s'utilitza un cercle i una línia recta. El cercle està centrat en l'origen i la seva equació és $x^2 + y^2 = 25$. La línia de tall travessa el disseny seguint l'equació $2x + y = 1$. Troba els punts d'intersecció entre el cercle i la recta que defineixen els límits del logotip.
Problemes: perímetre, àrea i nombres
Determina dos nombres naturals sabent que la seva suma és $10$ i que la suma dels seus quadrats és $58$. Per a fer-ho, tradueix l'enunciat a un sistema d'equacions i…
Determina dos nombres naturals sabent que la seva suma és $10$ i que la suma dels seus quadrats és $58$. Per a fer-ho, tradueix l'enunciat a un sistema d'equacions i resol-lo per substitució.
Resol el sistema d'equacions següent mitjançant el mètode que consideris més apropiat (substitució, igualació o reducció):…
Resol el sistema d'equacions següent mitjançant el mètode que consideris més apropiat (substitució, igualació o reducció):
$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x + 2)(y - 1) = 12 \end{cases}$
Una botiga en línia de samarretes personalitzades ha determinat que el benefici net diari $B$ (en centenars d'euros) i el nombre de samarretes venudes $x$ estan…
Una botiga en línia de samarretes personalitzades ha determinat que el benefici net diari $B$ (en centenars d'euros) i el nombre de samarretes venudes $x$ estan relacionats per dos models d'optimització diferents. El primer model suggereix que $B + x^2 = 10x + 11$, mentre que el segon model, basat en costos variables, estableix que $B - 2x = -5$. Calcula els valors de vendes $x$ per als quals tots dos models coincideixen en el mateix benefici net.