Exercicis: Successos

En l'estudi dels fenòmens quotidians, és fonamental distingir entre la certesa i l'atzar. Classifica els experiments següents com a aleatoris o deterministes:

1. a) Llançar un penal en un entrenament i observar si la pilota entra a la porteria.
2. b) Mesurar el temps que triga un objecte a caure des d'una alçària de 5 metres en el buit.
3. c) Observar el nombre de missatges de WhatsApp que reps entre les 17:00 i les 18:00 d'un dilluns qualsevol.
4. d) Calcular el cost total de la compra de 3 quilos de taronges si el preu per quilo és de $1,25 \text{ €}$.
5. e) Extreure una carta d'una baralla espanyola i observar si és de bastos.

Disposem d'una ruleta de la fortuna dividida en 8 sectors iguals, numerats de l'1 al 8. Es fa girar la ruleta i s'anota el número indicat per la fletxa.

Basant-te en aquest experiment:

1. a) Escriu l'espai mostral $E$.
2. b) Indica els elements que formen el succés $A = \text{"obtenir un nombre més gran que 5"}$.
3. c) Indica els elements que formen el succés $B = \text{"obtenir un nombre parell"}$.
4. d) Descriu amb paraules el succés complementari $\bar{A}$.

Es llencen dos daus cúbics (de sis cares) i s'anota la suma dels punts obtinguts.

1. a) Quin és l'espai mostral $E$ d'aquest experiment?
2. b) Escriu els successos elementals que componen el succés $S = \text{"la suma és múltiple de 5"}$.
3. c) Determina si el succés $I = \text{"la suma és un nombre més petit que 2"}$ és un succés possible, impossible o segur.

En una bossa hi ha 10 boles numerades de l'1 al 10. Considerem els successos següents:

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

Troba els elements dels successos resultants següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (succés contrari de $A$)
4. d) $A - B$ (successos que estan en $A$ però no en $B$)

Considera l'experiment d'extreure una carta d'una baralla espanyola de 40 cartes. Indica si els parells de successos següents són compatibles o incompatibles:

1. a) $A = \text{"Treure un Rei"}$ i $B = \text{"Treure una Sota"}$.
2. b) $C = \text{"Treure un Or"}$ i $D = \text{"Treure una Figura"}$.
3. c) $E = \text{"Treure un nombre parell"}$ i $F = \text{"Treure l'As d'Espases"}$.
4. d) $G = \text{"Treure un Cavall"}$ i $H = \text{"Treure una carta de Copes"}$.

Un grup d'amics analitza les seves aficions. Sigui $D$ el succés «practicar esport» i $M$ el succés «tocar un instrument musical». Expressa simbòlicament mitjançant operacions de successos les situacions següents:

1. a) L'amic practica esport o toca un instrument (o totes dues coses).
2. b) L'amic practica esport i a més toca un instrument.
3. c) L'amic practica esport però no toca cap instrument.
4. d) L'amic no practica esport ni toca cap instrument.

Observa el diagrama de Venn següent que representa els successos $A$ i $B$ dins d'un espai mostral $E$.

Si el punt $x$ representa un resultat de l'experiment, indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses basant-te en el gràfic:

1. a) El resultat $x$ pertany al succés $A \cup B$.
2. b) El resultat $x$ pertany al succés $A \cap B$.
3. c) Els successos $A$ i $B$ són incompatibles.
4. d) El resultat $x$ pertany al succés $A - B$.

En una aula de 1r de Batxillerat hi ha 12 alumnes que han triat Francès com a segona llengua, 15 que han triat Alemany i 3 que han triat totes dues. Si triem un alumne a l'atzar:

1. a) Quin és el nombre total d'alumnes que estudien alguna de les dues llengües (succés unió)?
2. b) Quants alumnes estudien només Alemany?
3. c) Utilitzant la regla de Laplace, si en total hi ha 30 alumnes a la classe, calcula la probabilitat que l'alumne triat estudiï Alemany.

En un institut es fa un estudi sobre hàbits de transport escolar. Es defineix l'esdeveniment $B$ com «l'alumne va en bicicleta» i l'esdeveniment $C$ com «l'alumne va en cotxe particular». En un debat a classe, la Marta afirma amb rotunditat: «Com que un alumne no pot venir simultàniament en bicicleta i en cotxe en el mateix trajecte, els esdeveniments $B$ i $C$ són contraris; per tant, es compleix obligatòriament que $P(B) + P(C) = 1$».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet la Marta en confondre esdeveniments incompatibles amb esdeveniments contraris (o complementaris).
2. b) Explica la diferència teòrica entre ambdós conceptes utilitzant la definició d'espai mostral $E$.
3. c) Descriu amb paraules què representa l'esdeveniment $\overline{B \cup C}$ en aquest context i posa un exemple d'un resultat de l'experiment que pertanyi a aquest esdeveniment per demostrar a la Marta que la seva suma no té per què ser $1$.

Considera l'experiment aleatori consistent a llançar un dau cúbic equilibrat amb les cares numerades de l'1 al 6, l'espai mostral del qual és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Dissenya i escriu els conjunts de resultats corresponents a dos esdeveniments compostos, $A$ i $B$, no buits i diferents d'$E$, que verifiquin alhora les tres condicions següents:

1) $A$ i $B$ són compatibles ($A \cap B \neq \emptyset$).

2) La diferència $A - B$ és un esdeveniment elemental (conté un únic resultat).

3) L'esdeveniment unió $A \cup B$ no conté cap nombre primer (recorda que els nombres primers al dau són 2, 3 i 5).

Indica explícitament els elements d'$A$, $B$, $A \cap B$, $A - B$ i $A \cup B$, i justifica pas a pas per què la teva elecció compleix cadascuna de les condicions exigides.

En una enquesta feta als alumnes de 1r de Batxillerat sobre les seves subscripcions a plataformes de streaming, s'ha obtingut que el $60\%$ està subscrit a Netflix ($N$), el $45\%$ a HBO Max ($H$) i el $20\%$ no està subscrit a cap de les dues. Si triem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que estigui subscrit a totes dues plataformes.

1. b) La probabilitat que estigui subscrit a Netflix però no a HBO Max ($P(N - H)$).

1. c) Representa la situació mitjançant un diagrama de Venn (dibuixa l'espai mostral $E$ i els conjunts $N$ i $H$) indicant les probabilitats de cada regió.

Donats dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori, sabem que la probabilitat que no s'esdevingui cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$. Si a més es coneix que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,5$, determina:

1. a) Són $A$ i $B$ successos incompatibles? Justifica la teva resposta.
2. b) Són $A$ i $B$ successos independents?
3. c) Calcula $P(A \cap \bar{B})$.

En un torneig d'e-sports, el $70\%$ dels participants utilitza teclat mecànic ($T$) i el $40\%$ utilitza ratolí ergonòmic ($R$). Sabem que la probabilitat que un participant triat a l'atzar no utilitzi ni teclat mecànic ni ratolí ergonòmic és de $0,15$.

1. a) Calcula la probabilitat que un jugador utilitzi totes dues coses.
2. b) Si sabem que un jugador utilitza teclat mecànic, quina és la probabilitat que també utilitzi ratolí ergonòmic?
3. c) És l'ús del ratolí ergonòmic independent de l'ús del teclat mecànic?

Observa el diagrama de Venn següent que representa les probabilitats dels successos $A$ (estudiar francès) i $B$ (estudiar alemany) en un centre d'idiomes.

A partir de les dades del gràfic, calcula:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A} | B)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilitzant les lleis de De Morgan.

Un analista de dades estudia la probabilitat que una publicació a Instagram sigui exitosa. Defineix els successos $V$ (la publicació és un vídeo) i $L$ (la publicació rep més de 500 «likes»). Se sap que $P(V) = 0,25$, $P(L) = 0,40$ i $P(V \cup L) = 0,55$.

1. a) Calcula $P(V \cap L)$.
2. b) Determina si els successos «ser vídeo» i «rebre molts likes» són independents.
3. c) Calcula la probabilitat que la publicació rebi molts likes sabent que no és un vídeo.

En una caixa de seguretat hi ha dos compartiments. El compartiment A conté 4 bitllets de 10 € i 6 de 20 €. El compartiment B conté 7 bitllets de 10 € i 3 de 20 €. Es llença un dau: si surt un nombre menor que 3 s'elegeix el compartiment A, i en cas contrari el B. A continuació, s'extreu un bitllet a l'atzar.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent.
2. b) Quina és la probabilitat que el bitllet extret sigui de 20 €?
3. c) Si el bitllet extret és de 10 €, quina és la probabilitat que procedeixi del compartiment A?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un equip de treball de 1r de Batxillerat està format per 5 noies i 3 nois. El professor ha de triar 2 persones a l'atzar per presentar el projecte. Calcula:

1. a) L'espai mostral de l'experiment (atenent al gènere dels triats).
2. b) La probabilitat que els dos triats siguin del mateix gènere.
3. c) La probabilitat que almenys un dels triats sigui una noia.

S'ha realitzat un estudi sobre l'ús d'ulleres de sol i la fatiga visual en conductors. De 200 conductors, 120 utilitzen ulleres de sol habitualment. Dels qui utilitzen ulleres de sol, el $10\%$ afirma tenir fatiga visual després d'un viatge llarg, mentre que entre els qui no en porten, el percentatge de fatiga s'eleva al $35\%$.

1. a) Organitza la informació en una taula de contingència.
2. b) Si triem un conductor a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui fatiga visual?
3. c) Si un conductor afirma no tenir fatiga visual, quina és la probabilitat que utilitzi ulleres de sol?

Segons un informe sobre connectivitat i oci digital a les llars d'una comunitat autònoma, el $80\,\%$ de les famílies disposa de connexió per fibra òptica d'alta velocitat ($F$) i el $60\,\%$ compta amb subscripció a alguna plataforma de televisió a la carta ($T$). Així mateix, el $50\,\%$ de les llars disposa d'ambdós serveis simultàniament ($F \cap T$).

1. a) Abans de fer cap càlcul formal, estima raonadament si la probabilitat que una llar triada a l'atzar no tingui cap dels dos serveis ($P(\overline{F} \cap \overline{T})$) serà més gran, més petita o igual a $0,15$. Explica breument en quina intuïció o balanç de percentatges et bases.
2. b) Expressa l'esdeveniment «no tenir cap dels dos serveis» mitjançant operacions d'esdeveniments utilitzant les lleis de De Morgan i calcula la seva probabilitat exacta aplicant els axiomes corresponents.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial, calcula la probabilitat que una llar tingui fibra però no televisió a la carta ($P(F - T)$) i raona si la proporció de llars que tenen només un dels dos serveis supera la dels que no en tenen cap.

A partir de les dades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) per a joves de 18 a 24 anys en una província espanyola, es modelitzen dos esdeveniments en seleccionar un jove a l'atzar: $T$ («tenir una feina remunerada») i $E$ («cursar estudis reglats»). Els registres indiquen que $P(T) = 0,38$, $P(E) = 0,52$ i la probabilitat que un jove realitzi almenys una de les dues activitats és $P(T \cup E) = 0,78$.

1. a) Tradueix a la notació formal d'operacions amb esdeveniments ($T$, $E$, unions, interseccions o complementaris) cadascuna de les situacions quotidianes següents:

i) El jove compagina feina i formació acadèmica.

ii) El jove no realitza cap de les dues activitats (situació coneguda com a «ni-ni»).

iii) El jove treballa, però no estudia.

1. b) Calcula la probabilitat de cadascun dels tres esdeveniments anteriors aplicant rigorosament les propietats de les operacions (fórmula de la unió, lleis de De Morgan i esdeveniment diferència).
2. c) Justifica si els esdeveniments $T$ i $E$ són compatibles o incompatibles i interpreta el significat socioeconòmic que $T \cap E \neq \emptyset$ en aquest grup d'edat.

En un estudi sobre el consum de mitjans digitals entre adolescents, s'analitzen dos successos: $A$ (l'usuari utilitza habitualment una plataforma de microblogging) i $B$ (l'usuari consumeix contingut en plataformes de streaming de vídeo). Després de realitzar una enquesta, s'han obtingut les dades de probabilitat següents:

• La probabilitat que un usuari no utilitzi cap de les dues plataformes és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$.

• La probabilitat que utilitzi habitualment la plataforma de microblogging és $P(A) = 0,6$.

• La probabilitat que no utilitzi la plataforma de streaming sabent que sí que utilitza la de microblogging és $P(\bar{B}/A) = 0,4$.

Calcula raonadament les probabilitats següents:

1. a) La probabilitat que l'usuari consumeixi contingut en streaming, $P(B)$.
2. b) La probabilitat que utilitzi la plataforma de microblogging però no la de streaming, $P(A - B)$.
3. c) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica la teva resposta mitjançant càlculs.

Considera un experiment aleatori on l'espai mostral és $E$. Siguin $S_1$ i $S_2$ dos successos tals que les seves probabilitats depenen d'un valor desconegut $k \in \mathbb{R}$. Es sap que:

• $P(S_1) = k$

• $P(S_2) = k^2 + 0,1$

• $P(S_1 \cup S_2) = 0,7$

Determina el valor de $k$ sabent que els successos $S_1$ i $S_2$ són incompatibles. Una vegada trobat $k$, comprova si seria possible que $S_1$ i $S_2$ fossin independents sota les mateixes condicions de probabilitat individual (ignorant la unió anterior). Justifica si existeix algun valor de $k$ que permeti la independència i la unió simultàniament.

Una empresa de ciberseguretat ha instal·lat dos sistemes de detecció d'intrusos, $D_1$ i $D_2$, que funcionen de manera independent. La probabilitat que davant d'un atac extern el sistema $D_1$ doni l'alarma és de $0,92$. D'altra banda, la probabilitat que el sistema $D_2$ no detecti l'atac és de $0,15$.

El diagrama mostra les branques possibles (✓ = detecta, ✗ = no detecta).

Si es produeix un atac inesperat, calcula:

1. a) La probabilitat que almenys un dels dos sistemes detecti l'atac.

1. b) La probabilitat que només el sistema $D_2$ doni l'alarma.

1. c) Sabent que l'atac ha estat detectat per almenys un dels sistemes, quina és la probabilitat que tots dos sistemes hagin funcionat correctament?

Siguin $A$, $B$ i $C$ tres successos d'un mateix experiment aleatori tals que:

• $A$ i $B$ són independents.

• $A$ i $C$ són incompatibles.

• $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$ i $P(C) = 0,2$.

Calcula detalladament aplicant les propietats de la probabilitat:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cup C)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
4. d) $P((A \cup B) \cap C)$ sabent a més que $B$ i $C$ són independents.

En una prestigiosa acadèmia de música, el $60\%$ dels alumnes toca el piano ($P$), el $45\%$ toca el violí ($V$) i el $20\%$ no toca cap d'aquests dos instruments. Es selecciona un alumne a l'atzar.

1. a) Determina la probabilitat que toqui tots dos instruments.
2. b) Si sabem que l'alumne seleccionat toca el violí, quina és la probabilitat que no toqui el piano?
3. c) S'elegeixen tres alumnes a l'atzar de manera independent. Calcula la probabilitat que almenys un d'ells toqui el piano però no el violí.

Demostra raonadament, utilitzant les Lleis de De Morgan i les propietats axiomàtiques de la probabilitat, la següent igualtat per a dos esdeveniments qualssevol $A$ i $B$:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) - P(\bar{A}) = P(A) - P(A \cup B)$

Posteriorment, interpreta què significa aquesta igualtat en termes de la relació entre els esdeveniments $A$ i $B$ quan el resultat és igual a zero.

Un laboratori de diagnòstic analitza mostres d'aigua per detectar un bacteri específic. Se sap que el $5\%$ de les fonts d'una regió estan contaminades ($C$). El test utilitzat té una probabilitat de donar un fals positiu (donar positiu quan no hi ha bacteri) del $2\%$, i una probabilitat de donar un fals negatiu (donar negatiu quan sí que hi ha bacteri) de l'$1\%$.

1. a) Construeix el diagrama d'arbre corresponent a aquesta situació.

1. b) Calcula la probabilitat que el test resulti positiu ($+$).

1. c) Si el test d'una font ha donat positiu, quina és la probabilitat que realment estigui contaminada? Comenta el resultat obtingut des del punt de vista de la fiabilitat del test.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un torneig d'e-sports, un equip ha de superar tres fases eliminatòries consecutives per guanyar el premi. Les probabilitats de superar cada fase depenen de l'èxit en l'anterior a causa de la fatiga acumulada:

• La probabilitat de superar la Fase 1 és $P(F_1) = 0,8$.

• Si superen la Fase 1, la probabilitat de superar la Fase 2 és $P(F_2/F_1) = 0,7$.

• Si no superen la Fase 1, queden eliminats automàticament (òbviament no hi ha Fase 2).

• Si han superat les dues primeres fases, la probabilitat de guanyar la Fase 3 és $P(F_3 / F_1 \cap F_2) = 0,5$.

Calcula:

1. a) La probabilitat que l'equip sigui eliminat exactament en la Fase 2.
2. b) La probabilitat que l'equip guanyi el torneig (superi les tres fases).
3. c) Sabent que l'equip no ha guanyat el torneig, quina és la probabilitat que ni tan sols superés la primera fase?

Una entitat financera espanyola audita els pagaments electrònics per detectar operacions sospitoses mitjançant dos tipus d'alertes automàtiques: localització geogràfica incoherent ($L$) i import inusualment elevat ($I$). S'han determinat les probabilitats $P(L) = 0,15$, $P(I) = 0,10$ i se sap que la probabilitat que una transacció no generi cap de les dues alertes és $P(\overline{L} \cap \overline{I}) = 0,80$. L'equip tècnic necessita trobar la probabilitat de l'esdeveniment $D$: «la transacció genera exactament una de les dues alertes».

Per calcular $P(D)$, dos analistes proposen procediments diferents:

• Mètode 1 (Descomposició disjunta): Obtenir $P(L \cap I)$ mitjançant les lleis de De Morgan; calcular per separat les probabilitats dels esdeveniments disjunts $L - I$ i $I - L$, i sumar-les: $P(D) = P(L - I) + P(I - L)$.

• Mètode 2 (Substracció global): Determinar $P(L \cup I)$ a partir del complementari i restar directament la intersecció: $P(D) = P(L \cup I) - P(L \cap I)$.

1. a) Desenvolupa ambdós mètodes pas a pas mostrant les operacions intermèdies i comprova que tots dos proporcionen el mateix valor de probabilitat.
2. b) Demostra formalment, mitjançant les definicions de les operacions de conjunts (unió, intersecció i diferència), que $(L - I) \cup (I - L) = (L \cup I) - (L \cap I)$.
3. c) Compara ambdós camins i justifica quin resulta més eficient algebraicament i quin minimitza el risc d'oblidar el solapament d'esdeveniments si les dades procedeixen d'una base de dades real.

En una consultora tecnològica s'avalua els candidats a un lloc tècnic segons dues competències: certificació en entorns al núvol ($C$) i domini de programació funcional ($F$). De les avaluacions prèvies se sap que el $75\,\%$ posseeix la certificació al núvol ($P(C) = 0,75$) i el $40\,\%$ domina la programació funcional ($P(F) = 0,40$). No es disposa, d'entrada, de la dada conjunta $P(C \cap F)$.

1. a) Determina de manera raonada l'interval tancat $[k_{\min}, k_{\max}]$ de valors admissibles per a la probabilitat que un candidat seleccionat a l'atzar posseeixi ambdues competències, $P(C \cap F)$. Justifica l'extrem inferior a partir de la propietat $P(C \cup F) \le 1$ i l'extrem superior a partir de la relació d'inclusió $(C \cap F) \subseteq F$.
2. b) Problema invers: La direcció imposa com a criteri de selecció que la probabilitat de rebutjar un candidat per no posseir cap de les dues competències, $P(\overline{C} \cap \overline{F})$, ha de ser d'almenys $0,10$. Demostra quina restricció imposa aquesta condició sobre $P(C \cap F)$ i determina el nou rang vàlid per a aquesta probabilitat sota aquesta exigència.
3. c) A partir dels resultats anteriors, demostra rigorosament per què és matemàticament impossible que els esdeveniments $C$ i $F$ siguin incompatibles en aquesta empresa, recorrent als axiomes de Kolmogorov i a l'espai mostral.