Exercicis: Límits en un punt

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació. Determina, a partir d'aquesta, el valor dels límits següents i el valor de la funció en el punt indicat:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 2} f(x)$
4. d) $f(2)$

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, completa la taula de valors següent per aproximar el límit de la funció quan $x$ tendeix a $1$. A quin valor sembla que s'acosta la funció?

Un estudi de mercat indica que els beneficis diaris d'una nova cafeteria, en euros, segueixen la funció $B(t) = t^2 + 5t - 10$, on $t$ és el temps en mesos des de la seva obertura. Calcula el límit dels beneficis quan el temps tendeix a $3$ mesos ($t \to 3$).

Calcula els límits següents realitzant la substitució directa en l'expressió de la funció:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 4)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{2x + 5}{x - 3}$

1. c) $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

La velocitat de descàrrega d'un fitxer (en MB/s) depèn del nombre d'usuaris connectats a la xarxa, $n$, segons la funció $V(n) = \frac{100}{n + 2}$. Determina a quin valor tendeix la velocitat de descàrrega quan el nombre d'usuaris s'aproxima a $18$.

Donada la funció definida a trossos:

Calcula els límits laterals en el punt de ruptura:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

Existeix el límit $\lim_{x \to 1} f(x)$? Justifica la teva resposta.

Determina el valor del límit de la funció $g(x) = \frac{x - 5}{x^2 + 1}$ en els punts següents:

1. a) $x \to 5$

1. b) $x \to -1$

1. c) $x \to 0$

Representa una funció $h(x)$ en un petit esbós que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 2$

2. $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 2$

3. $h(3) = 4$

És la funció contínua a $x = 3$? Explica quina diferència hi ha entre el valor del límit i el valor de la funció en aquest punt.

En Marcos ha de calcular el següent límit per a una feina de classe: $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^2 - 4}$. Al seu quadern escriu el següent desenvolupament:

1. a) Identifica amb precisió l'error algebraic que comet en Marcos en el segon pas. Quina expressió queda realment al numerador en dividir numerador i denominador entre $(x - 2)$?
2. b) Explica per què el resultat $4$ no té sentit observant que per a valors molt propers a $2$ (per exemple, $x = 2,1$), el numerador és molt menor que el denominador.
3. c) Corregeix el procediment i calcula el valor correcte del límit.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$, es vol trobar $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$.

1. a) Abans d'aplicar cap tècnica algebraica, estima el valor del límit calculant els valors numèrics de la funció per a $x = 0,99$ i per a $x = 1,01$. Cap a quin nombre enter sembla aproximar-se $f(x)$?
2. b) Justifica per què la substitució directa $x = 1$ no permet respondre de manera immediata a la pregunta de quant val el límit.
3. c) Resol el límit algebraicament factoritzant el numerador i simplificant. Comprova si el valor obtingut coincideix amb la teva estimació inicial i explica per què la cancel·lació del factor $(x - 1)$ és vàlida quan calculem un límit encara que no ho sigui per a $x = 1$.

Un creador de contingut ha observat que el creixement de seguidors del seu canal durant la primera hora d'un directe segueix la funció $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$, on $x$ és el temps en minuts. Tanmateix, just al minut $x = 5$, la plataforma va patir una petita errada tècnica i no va registrar dades.

Estima el valor al qual tendeixen els seguidors quan el temps s'aproxima a $5$ minuts completant la taula de valors següent i calculant el límit:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

La temperatura d'un component electrònic en un procés de refrigeració ve donada per la funció següent definida a trossos, on $t$ és el temps en segons:

$T(t) = \begin{cases} t^2 - 2t + 5 & \text{si } t < 3 \\ \frac{2t + 18}{t} & \text{si } t \ge 3 \end{cases}$

Calcula els límits laterals en el punt de canvi de règim ($t = 3$) i determina si existeix el límit global en aquest punt. Justifica raonadament si la temperatura experimenta un salt brusc en aquest instant.

Calcula el valor del límit següent resolent la indeterminació mitjançant la factorització de polinomis:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}$

Una empresa de missatgeria utilitza una tarifa que depèn del pes del paquet $x$ en quilograms. La funció de cost és:

$C(x) = \begin{cases} 5x + 2 & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \sqrt{ax + 12} & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Troba el valor del paràmetre $a$ perquè el cost no brilli/presenti una discontinuïtat en el punt $x = 2$, és a dir, perquè existeixi el límit $\lim_{x \to 2} C(x)$ i aquest coincideixi amb el valor de la funció.

Resol el límit següent utilitzant la tècnica del producte pel binomi conjugat per eliminar l'arrel del numerador:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x - 4}$

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació i analitza el seu comportament en els punts indicats:

1. a) Determina els límits laterals a $x = -1$ i comprova si existeix $\lim_{x \to -1} f(x)$.
2. b) Determina els límits laterals a $x = 2$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en aquest punt?

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$, estudia el seu comportament quan $x$ s'acosta a $2$.

Per a fer-ho, calcula els límits laterals:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Explica, basant-te en els resultats, si la funció té una asímptota vertical o una discontinuïtat evitable en aquest punt.

En un laboratori de biologia, s'estudia la concentració d'una toxina en un cultiu bacterià. La concentració $C$ en parts per milió (ppm) respecte a la temperatura $x$ en graus centígrads segueix la funció:

$C(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$

Calcula la concentració límit quan la temperatura tendeix a $1^\circ\text{C}$. Està definida la concentració exactament a aquesta temperatura? Justifica la teva resposta analitzant el domini i el límit en aquest punt.

Dos estudiants d'1r de Batxillerat debaten sobre com resoldre $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 6x + 9}$. En substituir $x = 3$, tots dos observen que s'obté la forma $\frac{0}{0}$.

• La Lucía afirma: «Com que és una indeterminació $\frac{0}{0}$, el teorema del residu garanteix que podem simplificar el factor $(x - 3)$ i obtindrem un nombre real finit, és a dir, una discontinuïtat儿童 evitable».

• En Sergio opina: «Que doni $\frac{0}{0}$ no assegura que el límit sigui finit. Cal factoritzar i mirar la multiplicitat de l'arrel $x = 3$ al denominador; si després de simplificar el denominador continua anul·lant-se, hi haurà una asímptota vertical i el límit no existirà com a nombre finit».

1. a) Determina quin dels dos raonaments és correcte i explica quin error conceptual té l'afirmació de l'altre.
2. b) Resol el límit descomponent factorialment numerador i denominador, simplifica l'expressió i calcula els límits laterals $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x)$ i $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x)$ per concloure si existeix o no el límit demanat.

Dissenya la fórmula algebraica d'una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, on tant $P(x)$ com $Q(x)$ siguin polinomis de segon grau amb coeficients enters, que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. Presenta una indeterminació $\frac{0}{0}$ en avaluar directament en $x = 2$, però el seu límit en aquest punt existeix i és finit: $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 5$.

2. Presenta una asímptota vertical a la recta $x = -1$.

3. Passa per l'origen de coordenades, és a dir, $f(0) = 0$.

Explica el raonament que et permet deduir els factors de $P(x)$ i de $Q(x)$ a partir de cada condició, troba el valor de les constants necessàries i escriu l'expressió final de $f(x)$ amb els seus polinomis desenvolupats.

Donada la funció definida a trossos que modelitza el cost marginal de producció d'una empresa tecnològica en funció de les unitats $x$ (en milers):

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que existeix el límit de la funció en el punt de ruptura $x = 2$ i que aquest límit és igual a $4$. Justifica raonadament si la funció és contínua en aquest punt basant-te en els límits laterals calculats.

Calcula el valor del límit següent resolent la indeterminació mitjançant l'ús del conjugat i la factorització de polinomis:

Explica pas a pas el procés de simplificació i com aconsegueixes eliminar el factor que anul·la el denominador.

Observa la gràfica següent de la funció $g(x)$ i analitza el seu comportament en els punts crítics indicats:

A partir de la gràfica, determina:

1. $\lim_{x \to -2^-} g(x)$ i $\lim_{x \to -2^+} g(x)$. Existeix el límit a $x = -2$?

2. $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ i $\lim_{x \to 0^+} g(x)$. Quin és el valor de $g(0)$?

3. Descriu el tipus de discontinuïtat que presenta la funció en cadascun d'aquests dos punts.

Un estudi sociològic estableix que el nivell de satisfacció d'un usuari amb una xarxa social, $S(t)$, mesurat de 0 a 100, segueix la funció següent en relació al temps $t$ (en mesos) que porta registrat:

Calcula el límit de satisfacció quan el temps s'aproxima als $2$ mesos i als $3$ mesos. Interpreta el resultat obtingut: què passa físicament amb la satisfacció de l'usuari en aquests instants de temps?

Troba el valor dels límits laterals de la funció següent en el punt $x = 3$:

A partir dels teus resultats, raona si existeix el límit global en aquest punt. Quina diferència gràfica hi ha entre aproximar-se per l'esquerra i per la dreta?

Calcula el valor de $k$ perquè el límit següent sigui un nombre real (finit) i, una vegada trobat $k$, calcula el valor d'aquest límit:

S'està estudiant la propagació d'un rumor en un institut. El nombre d'alumnes que coneixen la notícia després de $h$ hores ve donat per la funció:

Calcula i interpreta el significat dels límits següents en el context del problema:

1. $\lim_{h \to 0^+} N(h)$

2. $\lim_{h \to 4^-} N(h)$

És coherent el model matemàtic per a qualsevol valor de $h$? Raona la teva resposta basant-te en l'existència d'asímptotes verticals.

Considera la funció racional $R(x) = \frac{x^2 - m}{x^2 - 5x + 6}$.

1. a) Determina el valor de $m$ perquè la funció presenti una discontinuïtat evitable en $x = 2$.

1. b) Per a aquest valor de $m$, calcula $\lim_{x \to 2} R(x)$.

1. c) Què passa amb el límit de la funció en $x = 3$ per al valor de $m$ trobat a l'apartat a)? Calcula els límits laterals en $x = 3$ i descriu el comportament de les branques infinites de la funció al costat d'aquesta recta.

Una cooperativa d'oliva de Jaén estima que el cost total diari d'envasar $x$ centenars de litres d'oli d'oliva verge extra ve donat per $C(x) = x^2 + 6x + 40$ (en euros, per a $x \geq 0$). El departament financer necessita avaluar el cost marginal en assolir un ritme d'envasament de $400$ litres ($x = 4$). Per a fer-ho, estudien la taxa de variació mitjana del cost entre un nivell de producció genèric $x$ i el nivell base $x = 4$:

1. a) Calcula $C(4)$ i escriu l'expressió de $T(x)$. Justifica quina indeterminació apareix en avaluar directament $T(4)$ i explica quin sentit econòmic té que numerador i denominador s'anul·lin simultàniament quan no hi ha canvi en la producció.
2. b) Resol la indeterminació mitjançant factorització per trobar el cost marginal exacte calculant $\displaystyle\lim_{x \to 4} T(x)$ (en euros per cada cent litres addicionals).
3. c) Un trull competidor utilitza una tecnologia diferent la taxa incremental de la qual segueix la funció $G(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} + 14$. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 4} G(x)$ multiplicant pel conjugat i determina raonadament quina de les dues cooperatives assumeix un menor cost marginal en assolir els $400$ litres.

Es considera la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x + 7} - k}{x - 2}$, on $k$ és una constant real.

1. a) Raona per què el límit $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ només pot ser un nombre real finit si en substituir $x = 2$ es produeix la indeterminació $\frac{0}{0}$. Utilitza aquest raonament per deduir l'únic valor admisible de $k$.
2. b) Per al valor de $k$ obtingut, calcula analíticament $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ multiplicant per l'expressió conjugada i simplificant el factor comú.
3. c) Si en lloc del valor trobat fixem $k = 5$, justifica teòricament (sense necessitat de calcular tots dos límits laterals complets) si la recta $x = 2$ representarà una discontinuïtat evitable o una asímptota vertical, i indica raonadament el signe cap al qual tendirà la funció quan $x \to 2^+$.