Límites en un punto

Calcula los siguientes límites realizando la sustitución directa en la expresión de la función:

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 4)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{2x + 5}{x - 3}$

1. c) $\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

Un estudio de mercado indica que los beneficios diarios de una nueva cafetería, en euros, siguen la función $B(t) = t^2 + 5t - 10$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su apertura. Calcula el límite de los beneficios cuando el tiempo tiende a $3$ meses ($t \to 3$).

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, completa la siguiente tabla de valores para aproximar el límite de la función cuando $x$ tiende a $1$. ¿A qué valor parece que se acerca la función?

Un creador de contenido ha observado que el crecimiento de seguidores de su canal durante la primera hora de un directo sigue la función $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$, donde $x$ es el tiempo en minutos. Sin embargo, justo en el minuto $x = 5$, la plataforma sufrió un pequeño error técnico y no registró datos.

Estima el valor al que tienden los seguidores cuando el tiempo se aproxima a $5$ minutos completando la siguiente tabla de valores y calculando el límite:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

Dada la función definida a trozos:

Calcula los límites laterales en el punto de ruptura:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

¿Existe el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$? Justifica tu respuesta.

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación mediante la factorización de polinomios:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x^2 - x - 6}$

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del producto por el binomio conjugado para eliminar la raíz del numerador:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x - 4}$

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $2$.

Para ello, calcula los límites laterales:

$\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

Explica, basándote en los resultados, si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en ese punto.

En un laboratorio de biología, se estudia la concentración de una toxina en un cultivo bacteriano. La concentración $C$ en partes por millón (ppm) respecto a la temperatura $x$ en grados centígrados sigue la función:

$C(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$

Calcula la concentración límite cuando la temperatura tiende a $1^\circ\text{C}$. ¿Está definida la concentración exactamente a esa temperatura? Justifica tu respuesta analizando el dominio y el límite en ese punto.

Considera la función racional $R(x) = \frac{x^2 - m}{x^2 - 5x + 6}$.

1. Determina el valor de $m$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 2$.

2. Para ese valor de $m$, calcula $\lim_{x \to 2} R(x)$.

3. ¿Qué ocurre con el límite de la función en $x = 3$ para el valor de $m$ hallado anteriormente? Describe el comportamiento de las ramas infinitas.