Exercicis: Funcions exponencial i logarítmica

Sense representar-les, indica quines d'aquestes funcions exponencials són creixents i quines decreixents, justificant la resposta a partir de la base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

Tota funció exponencial $f(x) = a^{x}$ (amb $a > 0$ i $a \neq 1$) passa per un mateix punt, i tota funció logarítmica $g(x) = \log_{a} x$ passa per un altre. Quins són aquests punts? Demostra'ls calculant $f(0)$ i $g(1)$ per a una base qualsevol.

Indica l'equació de l'asímptota de cada funció i digues de quin tipus és (horitzontal o vertical):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

Siguin $f(x) = 3^{x}$ i $g(x) = \log_{2} x$. Calcula, sense calculadora:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ i $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ i $g\left(\frac{1}{2}\right)$

Associa cada fenomen amb el tipus de model exponencial que el descriu millor, creixent (base més gran que $1$) o decreixent (base entre $0$ i $1$), i justifica la tria:

• El refredament d'una tassa de cafè fins a assolir la temperatura ambient.

• El capital d'un compte d'estalvi amb interès compost.

• La radioactivitat restant d'una font mèdica amb el pas dels anys.

• El nombre de persones assolides per una cadena solidària en la qual cada persona avisa tres amics.

Calcula el domini de les funcions següents:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

Indica el recorregut de les funcions següents, raonant-ho a partir de les gràfiques de $f(x) = 2^{x}$ i de $g(x) = \log x$:

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 2^{x} - 1$

1. c) $h(x) = \log x$

1. d) $i(x) = \log x + 2$

La gràfica d'una funció exponencial $f(x) = a^{x}$ passa pel punt $(2, 9)$.

1. a) Quin és el valor de la base $a$?

1. b) Amb la base trobada, calcula $f(3)$ i $f(-1)$.

1. c) Per quin punt passa la gràfica sigui quin sigui el valor de $a$?

En Marcos està resolent dues tasques sobre funcions i comet errors conceptuals freqüents:

1. a) Per trobar el domini de la funció $f(x) = \log_3(x - 5)$, en Marcos afirma: «Com que a les fraccions no es pot dividir entre zero, aquí l'únic nombre prohibit és el que anul·la el parèntesi, és a dir, $x - 5 = 0 \implies x = 5$; per tant, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$». Explica raonadament per què l'argument d'en Marcos és incorrecte, quina condició exigeix realment un logaritme i quin és el domini correcte de $f$.

1. b) Per resoldre l'equació $4^x = -2$, en Marcos escriu: «Passo el $4$ dividint i queda $x = \dfrac{-2}{4} = -0,5$». Explica per què aquest aïllament no té sentit matemàtic i justifica, a partir del recorregut de la funció exponencial, quantes solucions reals té aquesta equació.

Resol les qüestions següents construint les funcions a partir de les seves propietats geomètriques:

1. a) Escriu la fórmula d'una funció exponencial de la forma $f(x) = a^x$ sabent que és decreixent i que la seva gràfica passa pel punt $(-2, 9)$. Justifica la tria del valor de la base $a$.

1. b) Escriu l'expressió analítica de la funció logarítmica $g(x) = \log_b x$ que és la inversa de la funció $f(x)$ que has obtingut en l'apartat anterior. Per quin punt del pla passa la gràfica de $g(x)$ necessàriament sense necessitat de fer cap càlcul?

1. c) Indica raonadament l'equació de l'asimptota de $f(x)$ i la de $g(x)$, especificant en cada cas si es tracta d'una asimptota horitzontal o vertical.

Considera la funció exponencial $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia i completa la taula de valors de la funció per a $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) Quins són el domini i el recorregut de la funció? És creixent o decreixent?

1. c) Quina recta és la seva asímptota? La toca la gràfica en algun punt? Raona la resposta.

A la figura apareixen les gràfiques de $f(x) = 3^{x}$ i $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) En quin punt es tallen ambdues? Justifica que tota exponencial de la forma $h(x) = a^{x}$ passa per aquest mateix punt.

1. b) Respecte de quin eix són simètriques les dues gràfiques? Comprova-ho calculant $f(2)$ i $g(-2)$.

1. c) Sense representar-la, descriu la gràfica de $k(x) = 0,7^{x}$: creixement, asímptota i posició respecte a les dues anteriors.

La figura mostra la gràfica de la funció logarítmica $f(x) = \log_{2} x$. Cada quadradet de la quadrícula mesura 1 unitat en tots dos eixos.

1. a) Indica el seu domini i el seu recorregut.

1. b) Quina és la seva asímptota i de quin tipus és?

1. c) Calcula $f(16)$ i $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partir de la definició de logaritme i comprova que encaixen amb la gràfica.

1. d) Té sentit calcular $f(-2)$? Per què?

A partir de la gràfica de $f(x) = 2^{x}$ (en blau) s'ha dibuixat la de $g(x) = 2^{x} + 3$ (en verd), com es veu a la figura.

1. a) Quina transformació relaciona les dues gràfiques?

1. b) Quina és l'asímptota horitzontal de $g$? I el seu recorregut?

1. c) Escriu l'expressió de la funció la gràfica de la qual és la de $f$ desplaçada $2$ unitats cap a l'esquerra, i indica'n l'asímptota.

El valor d'un cotxe segueix el model $V(t) = 24.000 \cdot 0,85^{t}$, amb $t$ en anys.

1. a) Quin era el preu del cotxe nou?

1. b) Calcula el valor al cap de $5$ anys, arrodonint als euros.

1. c) Perd el cotxe el mateix valor cada any? Calcula el que perd durant el primer any i el que perd entre el quart i el cinquè any, i explica la diferència.

La gràfica mostra el percentatge de carboni-14 que queda en una mostra al llarg del temps.

1. a) Quin percentatge queda després de $5.730$ anys? Com es diu aquest període?

1. b) Llegeix a la gràfica el percentatge que queda als $17.190$ anys (marcat amb «?») i comprova-ho calculant quants períodes de semidesintegració han transcorregut.

1. c) Acota entre quines dues marques de l'eix de temps estarà l'instant en què quedi menys del $1 \%$ i justifica-ho.

La figura mostra la gràfica de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) Quin és el domini de $f$? Relaciona'l amb la zona ombrejada i amb l'asímptota de la gràfica.

1. b) Quin és el seu recorregut?

1. c) Determina, sense representar-les, el domini d'aquestes funcions: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina el domini de definició de les funcions següents:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

Un pla de pensions comercialitzat a Espanya ofereix una rendibilitat mitjana estimada del $7\,\%$ anual compost. Si es fa una aportació inicial de $2.500$ €, el capital acumulat al cap de $t$ anys ve donat per la funció $C(t) = 2.500 \cdot 1,07^t$. Es vol esbrinar quants anys han de transcórrer per duplicar el capital invertit (arribar a $5.000$ €).

1. a) Abans de calcular amb logaritmes, fes una estimació: sabent que $1,07^2 \approx 1,14$ i que $1,07^{10} \approx 1,97$, acota el temps necessari entre dos nombres enters consecutius d'anys. Justifica la teva estimació.

1. b) Planteja l'equació corresponent i resol-la pas a pas aplicant logaritmes per determinar el valor exacte de $t$ (arrodoneix el resultat a les dècimes).

1. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació inicial i valora si és coherent amb la regla financera del 72 (que prediu que el temps de duplicació al $r\,\%$ anual és aproximadament $\dfrac{72}{r}$).

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), un municipi rural de Castella i Lleó comptava amb $1.200$ habitants empadronats a 1 de gener de 2015. A causa de l'èxode juvenil i de l'envelliment poblacional, el seu cens decreix a un ritme aproximat del $3\,\%$ anual, seguint el model $P(t) = 1.200 \cdot 0,97^t$, on $t$ és el temps en anys transcorreguts des de 2015.

1. a) Interpreta en el context del problema el significat del coeficient $1.200$ i de la base $0,97$. Justifica a partir de la base per què la funció és estrictament decreixent.

1. b) L'administració considera que un municipi entra en risc sever de despoblació si baixa dels $800$ habitants. Si es manté la tendència, en quin any natural assolirà aquest municipi aquest llindar crític? Planteja i resol l'equació corresponent mitjançant logaritmes.

1. c) Un titular local afirma: «A aquest ritme constant de pèrdua del $3\,\%$ cada any, d'aquí a 34 anys el poble haurà perdut el $102\,\%$ dels seus veïns i desapareixerà completament». Raona la falsedat matemàtica d'aquesta afirmació basant-te en les propietats del decaïment exponencial i de les asímptotes horitzontals.

El carboni-14 es desintegra de manera que la quantitat que queda en una mostra segueix el model $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5.730}$, on $t$ és el temps en anys i $N_0$ la quantitat inicial. Un equip d'arqueologia analitza un fragment d'os trobat en una cova.

1. a) Quin percentatge de carboni-14 quedarà al cap de $2.000$ anys? Arrodoneix a les dècimes.

1. b) Si el fragment conserva el $38 \%$ del carboni-14 original, planteja l'equació que permet trobar la seva antiguitat i resol-la fent servir logaritmes.

1. c) Un titular de premsa afirma: «passats $11.460$ anys ja no queda carboni-14, perquè s'han complit dos períodes de semidesintegració». Explica per què és fals i calcula el percentatge real que queda en aquest instant.

La concentració d'un medicament en sang, en mg/l, evoluciona segons el model $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, on $t$ són les hores transcorregudes des de la seva administració.

1. a) Quina concentració hi havia en el moment de la injecció? I a les $6$ hores? Arrodoneix a les dècimes.

1. b) El fàrmac deixa de ser eficaç quan la concentració baixa de $30$ mg/l. Planteja la inequació corresponent i calcula, amb logaritmes, quantes hores dura l'efecte.

1. c) Si un pacient rep una segona dosi idèntica $12$ hores després de la primera, quina concentració total tindrà en sang just després de la nova injecció, suposant que les concentracions es sumen?

La població d'una ciutat costanera evoluciona segons el model $P(t) = 180.000 \cdot 1,015^{t}$, on $t$ són els anys transcorreguts des de 2025.

1. a) Quina població s'espera el 2035? Arrodoneix a les centenes.

1. b) En quin any superarà la ciutat els $250.000$ habitants? Planteja la inequació i resol-la amb logaritmes.

1. c) Explica quina hipòtesi sobre el creixement amaga aquest model i raona per què podria deixar de ser realista a molt llarg termini.

En representar juntes les funcions $f(x) = 2^{x}$ i $g(x) = 2^{-x}$, una alumna afirma: «són simètriques respecte de l'eix $X$, perquè una és l'exponencial i l'altra la seva oposada». Valora raonadament l'afirmació: indica si és vertadera o falsa, fes un esquema de totes dues gràfiques, explica respecte de quin eix són realment simètriques i confirma-ho comparant $f(2)$ amb $g(-2)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos analistes d'una aplicació de música discuteixen com creixerà el nombre d'usuaris. El primer proposa un model lineal i el segon, un d'exponencial; tots dos models parteixen de $100$ usuaris la setmana $0$ i estan representats a la figura.

1. a) La recta passa pels punts $(0, 100)$ i $(10, 1.000)$: escriu la seva equació.

1. b) La corba exponencial té la forma $u(t) = 100 \cdot a^{t}$ i passa pel punt $(5, 420)$: calcula la base $a$ fent servir logaritmes i arrodoneix a les mil·lèsimes.

1. c) Amb els dos models complets, determina entre quines dues setmanes consecutives la previsió exponencial supera la lineal, comprova-ho amb la figura i explica quina diferència hi ha entre totes dues previsions a llarg termini.

El nivell d'intensitat sonora es mesura en decibels (dB) amb l'escala logarítmica $L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0}$, on $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ és el llindar d'audició.

1. a) Calcula el nivell, en dB, d'una conversa normal la intensitat de la qual és $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$.

1. b) El llindar de dolor està en $130$ dB. Quina és la intensitat corresponent? Expressa-la com a potència de $10$.

1. c) Quantes vegades més intens és el so d'un concert de $110$ dB que el d'una biblioteca de $40$ dB? Explica per què, encara que la diferència sigui de «només» $70$ dB, la intensitat es multiplica per $10^{7}$.

Amb una inflació anual del $3 \%$, el poder adquisitiu de $1.000\ \text{ €}$ guardats «sota el matalàs» evoluciona segons $V(t) = 1.000 \cdot 1,03^{-t}$, on $t$ són els anys transcorreguts.

1. a) Calcula el poder adquisitiu al cap de $5$ anys, arrodonit als cèntims.

1. b) Quants anys han de passar perquè aquests diners «valguin» la meitat? Planteja l'equació i resol-la amb logaritmes.

1. c) Representa aproximadament la funció per a $t \in [0, 30]$ (escala suggerida: $1$ cm $= 5$ anys en l'eix horitzontal i $1$ cm $= 100\ \text{ €}$ en el vertical) i marca-hi els resultats dels apartats anteriors.

El valor d'un cotxe elèctric nou de $32.000\ \text{ €}$ segueix el model exponencial $V(t) = 32.000 \cdot 0,85^{t}$, amb $t$ en anys.

1. a) Quant valdrà als $4$ anys? Arrodoneix als euros.

1. b) Un concessionari ofereix recomprar-lo quan el seu valor baixi de $12.000\ \text{ €}$. Quant de temps passarà fins aleshores? Utilitza logaritmes.

1. c) Un altre venedor utilitza un model lineal segons el qual el cotxe perd $4.500\ \text{ €}$ de valor cada any. Compara el valor que assigna cada model als $4$ anys i explica quin dels dos beneficia el propietari que el vulgui vendre a mitjà termini.

Es proposa resoldre a classe l'equació exponencial $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Dos alumnes suggereixen camins diferents:

• L'Alba suggereix aplicar directament logaritmes a tots dos membres per «baixar» els exponents des del principi: $\log(4^x - 5 \cdot 2^x + 4) = \log(0)$.

• En Borja suggereix expressar $4^x$ com a $(2^x)^2$ i aplicar el canvi de variable $u = 2^x$.

1. a) Avalua el mètode de l'Alba: indica dos motius matemàtics rigorosos pels quals el seu plantejament és inviable (un de relatiu al domini de la funció logarítmica i un altre de relatiu a les propietats operacionals del logaritme d'una suma o resta).

1. b) Desenvolupa completament el mètode d'en Borja per trobar les solucions reals de l'equació, justificant cada pas en desfer el canvi de variable mitjançant la definició de logaritme.

1. c) Si l'equació plantejada hagués estat $4^x - 5 \cdot 2^x - 6 = 0$, en aplicar el canvi de variable s'obtindrien $u_1 = 6$ i $u_2 = -1$. Raona per què s'ha de descartar el valor $u_2 = -1$, connectant la teva explicació amb el recorregut de la funció exponencial $g(x) = 2^x$.

L'atenuació del senyal lumínic en una estesa interurbana de fibra òptica es modelitza mitjançant una funció exponencial decreixent $I(x) = I_0 \cdot a^x$, on $x$ representa la distància recorreguda per la llum en quilòmetres i $I(x)$ és la potència del senyal rebut en mil·liwats ($\text{mW}$).

A l'estació emissora ($x = 0$), el senyal surt amb una potència de $100\text{ mW}$. En arribar a una estació de control situada a $15\text{ km}$, es detecta que la potència s'ha reduït exactament a $25\text{ mW}$.

1. a) Dedueix de manera raonada els valors exactes d'$I_0$ i de la base $a$. Expressa $a$ com una potència de base irreductible (sense recórrer a aproximacions decimals) i escriu l'expressió analítica completa d'$I(x)$.

1. b) Els amplificadors de senyal disponibles requereixen que la potència lumínica que els arriba sigui de com a mínim $1,5\text{ mW}$ per poder processar les dades sense pèrdues. Planteja i resol mitjançant logaritmes quina és la distància màxima a la qual es pot col·locar l'amplificador des de la central emissora. Arrodoneix a les dècimes de quilòmetre.

1. c) Construeix la funció inversa $x(I)$ que permet calcular la distància recorreguda en funció de la intensitat final observada. Determina el seu domini matemàtic i el domini amb sentit real en el context d'aquesta estesa de fibra, justificant analíticament quin tipus de funció és.

Repte del tema. Com impacta la inflació en l'economia familiar? Has de modelitzar l'evolució del cost de la vida real a través de les funcions.

1. Dades i interpolació: Accedeix al web de l'INE (ine.es) i anota l'IPC mitjà anual dels últims $5$ anys. Aplica interpolació lineal per estimar l'índex en un semestre intermedi i ajusta després les dades a un model exponencial $f(t) = a \cdot b^t$.

2. Inversa i operacions: Obtén analíticament la funció inversa $f^{-1}$ mitjançant logaritmes per calcular en quin any l'IPC superarà un increment del $50\,\%$. Modela l'error d'ajust mitjançant una funció a trossos que integri el valor absolut de la desviació, $E(t) = |f(t) - y_{\text{real}}|$, i analitza si una funció arrel $g(t) = k \cdot \sqrt{t}$ descriuria millor períodes d'estancament.

3. Estudi i producte final: Representa les funcions a GeoGebra o a un full de càlcul. Fes l'anàlisi completa pas a pas: domini, recorregut, asímptotes, talls amb els eixos i signe. Lliura un informe executiu d'una pàgina amb les teves gràfiques i una valoració crítica dels resultats.

Es valorarà:

• Precisió matemàtica en la interpolació lineal i el càlcul d'inverses logarítmiques.

• Rigor en l'estudi analític (domini, recorregut, signe, funcions a trossos i valor absolut).

• Qualitat tècnica en la representació gràfica amb GeoGebra o el full de càlcul.

• Coherència i esperit crític en les conclusions socioeconòmiques de l'informe.